Алгебра и топология

    Из  этих определений следует, что H(A, A) для любых объектов A является моноидом.

    Пример 5.13. Категория St, которую образуют все множества в данном универсуме и все отображения между ними, включая для каждого множества A отображение Æ®A, определяемое пустой функцией Æ.

    Пустое  множество Æ является левым нулем (инициальным объектом), а одноэмментное множество правым нулем (терминальным объектом). Всякое непустое множество является образующим объектом. Всякий мономорфизм с непустым началом есть обратимое справа инъективное отображение, всякий эпиморфизм есть обратимое слева сюръективное отображение.

    Нулевой объект категории – такой объект (обозначаемый обычно 0), что для каждого объекта X этой категории множества H(X, 0) и H(0, X) одноэлементные.

    Если  в категории с нулем через w_0X обозначить единственный морфизм в H(0, X), через w_X0 – единственный морфизм в H(X, 0), то нулевой морфизм из A в B определится равенством

    w_AB=w_A0w_0B         (5.10).

    Из  свойств категории St следует, что H(A, B) есть не что иное, как совокупность всех функций, заданных на A и принимающих значения в множестве B. Таким, образом, w_AB=f(x₁,…,x_n)=0 – нуль-функция. Тождественный морфизм 1_B – это тождественная функция f_A:A®A, а произведение морфизмов f:A®B, g:B®C совпадает с обычной суперпозицией функции f ₀ g.

    Соответствие  между любыми категориями K₁ и K₂ выражается функтором, – понятием, в определенном смысле, подобном понятию функции.

    Функтор – отображение одной категории в другую. При этом имеется в виду пара отображений:

    Ob K₁ в Ob K₂ и Hom K₁ в Hom K₂,

для простоты обозначаемых одной и той же буквой, например F и удовлетворяющие следующим условиям:

1. если aÎH(A,B), то F(a)ÎH(F(A),F(B));
2. если aÎH(A,B) и bÎH(B,C), F (ab)=F(a)F(b);
3. F(1_X)=1F(X) для любого объекта X из K.

    Для любой категории K отображение A®A, a®a отображает тождественный функтор этой категории на себя.

    Отображение F: K®K^¢ категории K в категорию K^¢ называется ковариантным функтором, если для каждого объекта AÎ ObK объект F(A) Î ObK^¢, для каждого морфизма aÎH_K(A, B) образ F(a)Î (F(A), F(B)), причем F(1_A)=1F(A) и F(ab)=F(a)´F(b) всякий раз, когда определено произведение ab.

    Функтор из категории K в категорию множеств St, сопоставляющий каждому K-объекту X множество F_P(X)=H(P, X), а каждому морфизму b:X®Y – отображение F_P(b):F(X)®F(Y), a®ab, называется основным функтором. С последним определением связано понятие проективного объекта. Объект P проективен, если основной функтор F_P переводит эпиморфизмы категории St.

    Каждой  категории K может быть сопоставлена двойственная (дуальная) категория K^*, для которой Ob K^*=Ob K и

 (A, B)=H_K(B, A) для любых A, BÎObK.

    Возникает понятие контрвариантного функтора из K в K^¢, под которым понимается ковариантный функтор из K^* в K^¢. Отметим так же, что наряду с функтором одного аргумента можно рассматривать и функторы многих аргументов.

    Для каждого предложения теории категорий  существует двойственное (дуальное) предложение. При этом справедлив принцип двойственности: предложение p истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение p^*.

    Многие  понятия в математике с категорной точки зрения являются двойственными  друг другу: инъективность – проективность, многообразия и радикалы в алгебре  и т. д. .

    Актуальными в плане теории дискретных структур являются также категории, рассмотренные ниже.

    Пример 5.14. Категория Alg(t) всех алгебр данного типа t и их гомоморфизмов. Если A и B – две алгебры типа t, то Hom(A, B) – это совокупность всех гомоморфизмов алгебры A в алгебру B, а 1_A – тождественный автоморфизм D_A алгебры A.

    Категория называется подкатегорией K, если каждый -объект является K-объектом, каждый -морфизм является K-морфизмом, тождественные -морфизмы тождественны в K и произведение -морфизмов тоже, что и в K.

    Например, структуры и структурные гомоморфизмы образуют подкатегорию Str категории St^Ù упорядоченных множеств и гомоморфизмов между ними, а категория Boole-A булевых алгебр и их гомоморфизмов будет подкатегорией категории Alg(2, 2. 1, 0, 0).

    Пример 5.15. Натурально нумерованные множества M образуют категорию St^N, в которой они выступают в роли объектов MÎOb St^N. Морфизмом из натурально нумерованного множества M₁ (с нумерацией m₁) в натурально нумерованное множество M₂ (с нумерацией m₂) называется отображение a: M₁® M₂, для которого существует всюду определенная на N вычислимая функция f такая, что

               (5.11)

(см. в частности,  п. 1 настоящего параграфа).

    Категория St^N множеств натуральной нумерации является подкатегорией категории St^S, образованной всеми нумерованными множествами, а не только натурально нумерованными.