Алгебра и топология

 

    Таблицы 5.5 и 5.6 рассчитаны при введении в  метрику и весовых коэффициентов и уровней характеристик систем, соответственно при целочисленных значениях x показателей принадлежности и достаточно произвольной выборки на отрезке [0,1]. В последнем случае оговорка «достаточно» связана с тем, что набор показателей принадлежности ограничивался близостью к установленным их значениям в табл. 5.1, в остальном же, осуществлялся произвольно.

    Данные  в табл. 5.5 и 5.6 показывают существенное влияние вводимых характеристик  на близость к функциям и , соответствующих метрик.

    Таблица 5.5

 
 
 

    Таблица 5.6

 

    В тоже время общий обзор показывает:

• существование влияния показателя принадлежности (при принятой концепции построения его значений) – «притягивание» оценки к исходному случаю, к множеству A₃;
• среднее значение расстояний от предельных функций (~0,26) мало отличается от среднего расстояния от функции (~0,23);
• линейная метрика d₁ в среднем дает существенно большее отклонение от функций и (~0,32), чем евклидова метрика d₂(~0,17).

    6. Классы и многообразия. Термин класс обычно употребляется в математике как синоним термина «множество» и, аналогично последнему, обозначает произвольные совокупности или признаки (например, в алгебре – классы эквивалентности относительно данного отношения эквивалентности).

    Иногда  классами предпочитают называть совокупности, элементами которых являются множества (например, в рекурсивной теории – перечислимые классы).

    В аксиоматической теории множеств термин класс применяется для того, чтобы  подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно классом, а не множеством в узком смысле (например, в алгебре – примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями).

    Перечислимые  классы – это классы, содержащие рекурсивно перечислимые множества. Примерами перечислимых множеств являются области значений вычислимых функций, то есть функций, вычисление значений которых может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной (реализуемой на машине Тьюринга) процедуры или алгоритма.

    Примитивный класс универсальных  алгебр с системой операций W выделяется тем множеством тождественных соотношений в них, которое выполняется всеми алгебрами этого класса.

    Многообразие в этом аспекте выступает как синоним понятия «примитивный класс», поскольку многообразие в общем случае интерпретируется, как совокупность объектов, наделенных некой структурой.

    Таким образом, можно говорить о многообразии алгебраических систем, как класса фиксированной сигнатуры W, аксиоматизируемого при помощи тождеств-формул вида

       ,

где P – какой-либо предикатный символ из W или знак равенства, а f₁,…,f_m – термы сигнатуры W от предметных переменных x₁,…,x_n.

    Пример 5.12. Примитивный класс (многообразие) составляют группы, рассматриваемые как алгебры с одной бинарной, одной унарной и одной нульарной операциями

G= < A; (•), µ, e>.

    Здесь W={(•), µ, e} – сигнатура операций, где:

    (•)  – бинарная операция;

    µ – обозначение унарной операции «обратный элемент»;

    e – нульарная операция «сигнатурная единица».

    В данном случае многообразие включает группу:

      <R^¢; *, ^-1, 1> – множество отличных от нуля действительных чисел R^¢ с обычным умножением *, обращением ^–1 и числом 1 в качестве нейтрального элемента;

    <R;Å, «–«, 0> – множество действительных чисел R, бинарная операция сложения Å, «–« унарная операция образования отрицательных чисел, 0 – нейтральный элемент;

    <M_n,n; *, ^-1, I_n,n> – множество квадратных матриц M_n,n, бинарная операция умножения *, унарная операция обращения матрицы ^–1, I_n,n – единичная матрица;

    <S_n; *, ^-1, e> – алгебра подстановок (см. §2.2, п. 4)

    и тому подобные.

    Система тождеств:

     ,

выполняется в  каждой из приведенных в примере  алгебр. Таким образом, эти алгебры  входят в  -многообразие групп.

    Отметим, что если система тождеств будет дополнена тождественным соотношением x(•)y=y(•)x, то выделяется -многообразие абелевых групп более узкое в сравнении с -многообразием.

    Из  приведенных в примере 5.12 групп, только группы R^¢ и R являются абелевыми.

    Если  будут использованы другие дополнительные тождества, то многообразие будет сужаться почти всегда.

    Кольца, ассоциативные кольца, ассоциативно-коммутативные  кольца и другие этого же рода алгебры составляют соответствующие многообразия.

    7. Категории и функторы. При рассмотрении множеств с некоторым строением и с некоторыми отображениями между ними, которые сохраняют данное строение; глобальных межсистемных связей и т. п., – нередко обычные алгебраические средства оказываются недостаточными. Полезным дополнением к ним во многих случаях могут служить конструкции и методы теории категорий, привлекающей все большее внимание в различных прикладных областях.

    Категория К состоит из объектов (ОbК) и морфизмов (MorK), связанных следующими условиями:

    1. Каждый морфизм aÎ MorK приписан к некоторой единственной для него упорядоченной паре объектов (A, B), При этом, как и ранее, пишут a:A®B или . Объект A называют началом или областью определения морфизма a, а объект – его концом или областью значений.

    Множество всех морфизмов, приписанных к данной паре объектов (A, B) обозначают Hom(A, B), H_K(A, B) или H(A, B).

    2. Для любых морфизмов a:A®B и b:B®C (aÎH(A,B) и bÎH(B,C)) определено их произведение ab, причем abÎH(A, C), называемое также композицией.

    3. Если задана a:A®B, b:B®C и g:C®D так, что (ab)g и a(bg), определены, то равенство

      (ab)g=a(bg)      (5.9)

отражает ассоциативность  произведения морфизмов.

    4. Для любого объекта A существует морфизм 1_A такой, что 1_A и 1_A= для любых a:A®B и b:C®A. Морфизм 1_A называется тождественным или единичным на A.