Алгебра и топология

    В таблице 5.1 учитываются лишь четыре системы A₁,A₂,A₃,A₄ ( ). При этом каждая из систем обладает четырьмя из n=8 возможных свойств.

    Таблица 5.1.

    Здесь «1» – наличие, «0» – отсутствие свойства.

    Определение расстояния Хемминга векторами пространства свойств систем A₁,A₂,A₃ и A₄ и функцией показывает, что лучшим приближением к набору наиболее «проявленных» свойств является система A₃.

    В теории дискретных структур используется иногда понятие обобщенная метрика Хемминга. Смысл обобщения состоит в распространении оценки расстояния и на нечеткие множества. Последнее означает (см §4.3, п.1) введение вместо дискретной функции принадлежности m(x)={0,1} («не принадлежит» рассматриваемому множеству –0, «принадлежит» – 1) функции принадлежности m(x), определенной на множестве рациональных чисел, обычно на отрезке m(x)=[0,1].

    С формальной стороны такое «обобщение»  переводит метрику Хемминга в общеизвестную форму линейной метрики (см. пример 5.3, п.2). В самом деле,

        (5.4),

подобна (x, y) в п. 2 примера 5.3.

    Представляется, что тонкость состоит в том, что  фактически вводится в метрику некоторая функция-множитель – в данном случае характеристическая функция принадлежности m(x) при этом часто неявно полагают все x_ij={1} (как, кстати, и сделано в примере 5.11, в таблице 5.1 – свойства x_j( ) в общем существуют, но уровень их не определен и в данном случае, не учитывается).

    Такой подход открывает широкий спектр «обобщений» путем введения разнообразных  функций-множителей.

    Так, например, в теории эффективности  систем распространено применение весовой функции, оценивающей «значимость» отдельный свойств (координат векторного пространства) в общем, показатель совершенства системы.

    Отметим отличие весовой функции от характеристической. Значения весовой функции g(x), где xÎX, взаимосвязаны соотношением:

               (5.5).

    Здесь C некоторая величина, зависящая от выбора множества значений функции g(x).

    Так, значениями g(x) могут быть ранги элементов. В простейшем случае это натуральные числа номеров мест в соответствие со значимостью x_jÎX j=1, 2,…, n=|X|. Тогда .

    Чаще  всего используют приведенные значения функции g(x)

,

определенные  на полуинтервале (0,1].

    Функция принадлежности m(x_j) для каждого элемента x_jÎX ограничена лишь тем множеством М, на котором она определена.

    Обычно  М задают на отрезке [0,1]. Если суммировать  принадлежности элементов x из множества мощности |C|=n, то сумма будет лежать в пределах

           (5.6).

    При этом верхнее значение имеет место, когда все m_j=1, а нижнее при всех m_j=0, ( ).

    Кроме того, алгебры весовых и характеристических функций различны. Первых – алгебра  множеств рациональных чисел, а алгебра характеристических функций – одна из модификаций булевой алгебры (см. §2.3).

    Если  задать некоторую функцию f, например, предельную или среднюю , в пространстве X, со значениями соответственно или , то близость систем по своим свойствам к функции будут отражать метрики:

           (5.7)

         (5.8).

    Нетрудно  видеть, что здесь весовая функция  взята в виде набора постоянных коэффициентов, «взвешивающих» те или иные свойства системы в независимости от уровня этих свойств. При таких условиях на различие метрик d₁ основное влияние оказывают значения m(x) и x. Однако при метриках d₂ на их различие влияют все составляющие m(x), x и g.

    В следующем примере 5.11.а дана детальная  иллюстрация оценки близости в рассматриваемом пространстве X соответствующих множеств (систем) по набору их свойств на основе введения различных по структуре метрик.

    Пример 5.11.а. Используя в качестве исходных данных пример 5.11, получим сравнительные оценки близости множеств A₁,A₂,A₃ и A₄.

    С этой целью зададимся значениями показателя принадлежности m для всех возможных характеристик систем (табл. 5.2). При этом, там, где в табл. 5.1 показатель принадлежности равен 1, в табл. 5.2 назначим m(x)>0,5, в противоположном случае примем m(x)£0,5. В нижней строке табл. 5.2 приведены показатели для формирования мажорирующих функций. Здесь значения m(x) определялось по схеме.

    ||m_ij||         Таблица 5.2

 

    ||x_ij||         Таблица 5.3

 

     .

    Такой подход связан с тем, что ближайшими числами к 1, являются числа большие 0,5, а к 0 – меньшие 0,5.

    Число 0,5 приравнивается к 0 из тех соображений, что булева мажоранта (см. пример 5.11) ровна нулю, если одинаково число  единиц и нулей в множестве ее переменных.

    Таблица 5.4, в которой в метрику введены  только весовые коэффициенты, а показатели принадлежности точно такие же, какие использованы в таблице 5.1, показывает существование влияния весовых коэффициентов на близость к соответствующим функциям сравнения. При этом следует отметить совпадение оценки в предыдущем разделе примера по мажоранте и средней функции в данной части (вновь наибольшей близостью отличается система A₃).

    Таблица 5.4