Алгебра и топология

Связность – свойство топологического пространства, состоящее в том, что пространство нельзя представить в виде суммы двух отдельных друг от друга частей – непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не являющееся связным, называется несвязным. Например, обычная евклидова плоскость – связное пространство; если удалить какую-либо окружность, не сводящуюся к точке, то остаток уже несвязен. Связность пространства сохраняется при гомеоморфизмах.

Абстрактное свойство связности является обобщением линейной связности, то есть свойства пространства, заключающегося в возможности связать любые его две точки некоторым путем.

Компактность – свойство, состоящее в том, что каждое бесконечное подмножество пространства имеет предельную точку, то есть такую точку данного подмножества, любая окрестность которой содержит, по крайней мере, одну точку этого подмножества, отличную от точки именуемой предельной. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым, а совокупность всех предельных точек называется производным множеством.

Размерность  – целочисленный инвариант пространства  C (обозначение dimC – Лебега размерность), определяемый следующим образом:

• dimC = -1, если C=Æ;
• dimC £ n, если топологическое пространство не пустое и не более, чем n – мерно;
• dimC = n – пространство называется n-мерным.

Вес – кардинальное наименьшее число, являющееся мощностью базы топологического пространства, то есть такого семейства B открытых подмножеств пространства C, что каждое открытое множество GÌC является объединением элементов ÌB.

Фундаментальная группа (группа Пуанкаре) – группа (C, x₀) пунктированного, то есть с отмеченного точкой x₀, пространства C. Элементами фундаментальной группы служат гомотопические классы замкнутых путей в C ( – символ фундаментальной группы).

Гомотопия, гомотопность двух непрерывных отображений f и g (f, g: C®U) есть существование такого семейства непрерывных отображений  f_t: C®U,  непрерывно зависящих от параметра tÎ[0,1], что f₀=f_n,   f₁=g. Это семейство (называемое  гомотопией, связывающей f с g) является путем в пространстве F(C,U) всех непрерывных отображений C®U, связывающих точку f с точкой g.

Гомологии группа топологического пространства – группа, которая ставится в соответствие топологическому пространству с целью алгебраического исследования его топологических свойств в рамках алгебраической топологии. Частью алгебраической топологии является теория гомологии, осуществляющая связь между топологическими и алгебраическими понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространства – гомоморфизмы соответствующих групп.

Таким образом, по свойствам групп и  их гомоморфизмов можно судить о  свойствах пространства и отображений, в частности о тех, что приводились  выше.

3. Метрика – понятие, характеризующее «расстояние» на множестве C. Это некоторая функция с неотрицательными действительными значениями, определяемая на декартовом произведении C´C. Функция должна удовлетворять при любых x, yÎC условиям:

1)  (x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиома тождества);

2)  (x, y) + (y, z) ³ (x, z) (аксиома треугольника);

3)  (x, y) = (y, x) (аксиома симметрии).

    Пример 5.3.

1. На любом множестве имеется дискретная (тривиальная) метрика:  =1, (x¹y) и  =0, (x=y).

2. В пространстве действительных чисел Rⁿ возможны метрики:

    

     ,

     .

    Или в общем виде:

     ,

здесь {x_i}, {y_i}ÎRⁿ.

3. В функциональных пространствах (см. ниже), в частности, для множества непрерывных функций на отрезке [a,b] существуют:

• равномерная метрика:

,

• интегральная метрика:

.

4. Для метрического пространства возможна внутренняя метрика:

при условии, что любые две точки пространства с метрикой , соединимы кривой n(x,y), а – длина кривой в метрике .

5. Метрика для нормированных множеств (определена действительная функция и (мера)) булевой алгебры представляется выражением:   .

    Обычно m(1)=1, а m(0)=0.

5.2 Пространства. 

    1. Метризуеимое и  метрическое пространства. Множество C, на котором может быть введена метрика, называется метризуемым пространством. Множество C, наделенное метрикой – метрическое пространство.

    Один  из общих критериев метризуемости, основанный на концепции локальной  конечности, формируется так: пространство C метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

    Регулярным  пространством называется топологическое пространство, в котором для каждой точки x и каждого не содержащего ее замкнутого множества A найдутся непересекающиеся множества  B и C такие, что xÎB и AÎC.

    Локально  конечное семейств F множеств – такое семейство, что у каждой точки пространства C есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным множеством его элементов.

    Класс метрических пространств внутренним образом связан с классом метризуемых  пространств. В этой связи следует отметить, что метрика индуцирует (порождает) топологию и две метрики эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию.

    Расстояние  между точками можно использовать для определения расстояния между  точкой и множеством.

    Расстояние (x, A) от точки x до множества А в метрическом пространстве {C, } определяется как inf{ (x, y) | yÎA}. Точка x объявляется абсолютно близкой ко множеству A, если    (x, A)=0.

Замыканием [A] множества А в {C, } называется множество всех точек из C, абсолютно близких к А. Однозначно отвечающая этой операции топология на множестве C и называется топологией, порожденной на C метрикой .

    Различные варианты метрик приведены в примере 5.3.

Важным  подклассом метрических пространств, связанным с теорией алгоритмов, являются эффективно метрические пространства. Это метрические пространства, рассматриваемые вместе с некоторой своей нумерацией, причем требуется, чтобы расстояние между любыми двумя точками этого пространства были вычисленными дистрибутивными числами и существовал алгоритм, дающий программу вычисления такого числа по номерам точек (отсюда и термин вычислимые числа).

Числовой  нумерацией множества А называется произвольное отображение f произвольного множества QÌN; если при этом f(q)=a, то q называется f-номером, или просто номером, элемента а (aÎA и qÎQ).

Множество Q-основание или номерное множество нумерации f. Если Q=N, нумерация является натуральной (простой).

Нумерация называется разрешимой, если существует алгоритм, который применим к любой паре элементов из Q и дает ответ на вопрос, являются ли они или нет номерами одного и того же элемента из А.

Если  каждый элемент А имеет только один номер (то есть f – взаимно однозначное соответствие), нумерация называется однозначной (без повторений) нумерацией.

Пример 5.4. Рассмотрим множество V'u слов русского языка на основе русского алфавита А={Æ, а, б, в, …, ю, я} (|A|=32 буквы, включая пробел, обозначенный знаком Æ).

Один из примитивных методов кодирования слов uÎV является нумерация множества А букв алфавита числами натурального ряда N. Нетрудно увидеть, что в этом случае QÌN, если Q есть множество из каких-то тридцати двух чисел. Например, отображение на рисунке 5.1.

    

    

    

      

1. Рис. 5.1.

Если  будут нумероваться не только буквы  алфавита, но и все образованные слова в каком-то порядке, считая в этом случае и буквы как однобуквенные слова, то Q=N. Номер очередного слова может определяться в соответствии с лексикографическим порядком (см. §1.2, п. 2). Очевидно, что в этом случае будем иметь соответствие g(q)=u, где u некоторое слово из множества слов V, и однозначную нумерацию.

Такого  рода процедуру называют иногда арифметизацией. Введенные какие-либо достаточно простые отображения f или g позволяют перевести отношения и операции, определенные на словах, в отношения и операции на номерах. Требование «достаточной простоты» отображения сводятся к тому, чтобы некоторые основные отношения (такие, как отношение вхождения одного слова в другое, – например, вхождение слова «уда», – приспособление для ужения, – в слово на|уда|чу, и т. п.) и операции (такие, как операции соединения слов и т. п.) переходили в отношения и операции, имеющие простую алгоритмическую природу (см. дополнительно §3.3).

2. Линейные (векторные) и нормированные (банаховы) пространства в контексте теории дискретных структур представляют наибольший интерес.

    Векторное (линейное) пространство над полем F – аддитивно записанная абелева группа V, в которой определено умножение на скаляр, то есть отображение F´V®V:(l,x)®lx, удовлетворяющее следующим аксиомам (x, yÎV; l, m, 1ÎF):