Алгебра и топология 

   Определения. 

1. Общая алгебра – часто алгебра, занимающаяся изучением тех или иных алгебраических систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей (абелева группа с кольцом операторов), подгрупп, решеток (структур) и т. п. .

    Если универсальная алгебра (см. §2.1, п.1) снабжена порядком или топологией, согласованным с операциями, то возникает частично упорядоченная или топологическая алгебра соответственно. Исследование этих объектов также относится к общей алгебре.

    Наиболее  развиты в общей алгебре теории частично упорядоченных и топологических групп и колец. Другими направлениями являются исследования структур, универсальных алгебр и категорий. Вскрытие связей алгебр и математической логики привело к появлению теории моделей и алгебраических систем, кратко раскрывавшихся ранее (см. §3.1, п. 3.3). Результаты этих исследований находят приложения в ряде областей, например, в алгебраической теории автоматов, алгебре алгоритмов и алгебраической теории информации (главным образом в том направлении, которое связано с теорией кодирования и декодирования).

    Немаловажно и другое замечание общей алгебры  – ее связь с топологией.

    Предметом исследований объектов являются: установление их соответствия, образование изотопий, наличие и сохранение характерных свойств, введение классов, категорий и т. п. .

    Результаты  обобщений позволяют надежно  обосновывать рациональные пути конструктивных практических методов, подобных уже упоминавшихся ранее (§2.2, п. 2.4, §2.3, п. 6-11).

    В §§2.2 и 2.3 приведены многие определения из входящих в круг понятий общей алгебры. Однако следует остановиться еще на ряде терминов.

    Универсальная алгебра – это алгебраическая система с пустым множеством отношений (часто называют просто алгебра). Если к основным операциям алгебры А присоединяются все производные операции (например, как в §2.3, п. 6), то возникает универсальная алгебра Â большей сигнатуры. Равенство Â = возможное и при А¹В, приводит к понятию рациональной дививалентности универсальных алгебр.

    Универсальная алгебра называется функционально полной, если  всякая операция на ее носителе принадлежит клону^* , порожденному ее основными операциями и константами. Если исключаются константы, то универсальная алгебра называется строго функционально полной. Всякая функционально полная универсальная алгебра конечна.

    В общей алгебре дается характеристика многообразия универсальных алгебр.

    Частично  упорядоченная группа – группа G_j, на которой задано отношение частичного порядка £ такое, что для любых a, b, x, y  из G неравенство a£b влечет за собой xay£xby.

    Множество ={xÎG½x³1} частично упорядоченной группы, называемое положительным конусом или целой частью, группы G, обладает следующими свойствами:

    1) × P Í P; 2) Ç P^-1={1};  3) x^-1PxÍ ,

    для любых xÎG.

    Пример5.1. Частично упорядоченными группами являются:

1. Аддитивная группа действительных чисел с обычным порядком;
2. Группа F(C, R) функций, заданных на произвольном множестве C со значениями R, с операцией:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

    и отношением порядка f£g, если f(x) £g(x) для всех xÎC.

Важный  класс частично упорядоченных групп  – структурно(решеточно)упорядоченная группа, l-группа, – группа G с сигнатурой:  <×, ^-1, >, удовлетворяющая аксиомам:

1. < G, ×, ^-1, , > – группа;
2. < G, , > – решетка;

3) x(y z)t=xyt xzt,

x(y z)t=xyt xzt,

для любых x, y, z, t ÎG.

    Решетка структурно упорядоченной группы дистрибутивна.

    Модулем элемента x называют элемент |x|=x x^-1.

Положительной частью элемента x является x⁺=x и отрицательной x^-=x .

Другой  важный класс – линейно упорядоченная группа G, являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка £ и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов x, y, z ÎG из x£y следует xz£yz и zx£zy.

Частично  упорядоченное кольцо K является частично упорядоченной группой по сложению, в котором для любых a, b, cÎ K неравенства a£b и c³0 влекут за собой неравенства ac£bc и ca£cb.

    Пример 5.2. Упорядоченными кольцами являются:

1. Упорядоченное поле – линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем (поле действительных чисел с обычным порядком);
2. Кольцо действительных функций на множестве C, где f£g означает, что f(x)£g(x) для всех xÎC;
3. Кольцо матриц над упорядоченным кольцом K, где по определению ,если a_ij£b_ij для всех i, j.

Если  K – упорядоченное кольцо, то множество ={x|xÎK, x³0} называется его положительным конусом, однозначно определяющим порядок кольца K(x£y, тогда и только тогда, когда (y-x)ÎK). Подмножество Í K служит положительным конусом для некоторого порядка, в том и только в том случае, когда Ç(-P)={0}, P+PÍ и ×PÍ .

    Равенство È(-P)=K равносильно линейности этого порядка.

2. Топология – раздел математики, назначением которого является выяснение и исследование идеи непрерывности в широком понимании, включая и дискретность, как фактор снятия непрерывности. Топология в настоящее время достигла высокого уровня развития. Представляется, что методы и идеи топологии должны найти, в возможном специфическом предложении, свое место и при исследованиях дискретных структур (здесь, по-видимому, на первое место может претендовать теория графов).

    Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств или топологических инвариантов: связность, компактность, размерность, вес, фундаментальная группа, группа гомологий и другие.

    Центральным объектом исследования в топологии  считается тройка (C,f,U), где f – непрерывное отображение топологического пространства C в топологическое пространство U.

    Отсюда  важнейшими  понятиями топологии  являются понятия: гомоморфизма (см. § 2.3, п. 12) и топологическое пространство.

    Пространство, в общем случае, это понятие, сложившееся в результате обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства (пространство Лобачевского, многомерная геометрия и т. п.).

    Топологическое  пространство – совокупность двух объектов: множества C, состоящего из элементов произвольной природы, называемыми точками данного пространства, и из введенной в это множество топологической структуры (топологии). Топология – это та или иная совокупность подмножеств U (открытых или замкнутых) множества C, удовлетворяющая трем условиям:

1) ÆÎ U, CÎ U;

2) пересечение двух множеств из U принадлежит U;

3) Объединение любой совокупности множеств из U принадлежит U.

Топологическое  пространство обозначают (C,U), что нередко сокращается до обозначения Т или просто C.

Топология может быть задана и отношением замыкания. Отношение замыкания имеет место тогда, когда всякому элементу xÎC сопоставлен однозначно определенный элемент ÎC, называемый замыканием элемента x. При этом для всех x, yÎC должны выполняться следующие требования:

1. x£ ;
2. если x£y, то £ ;
3. = , то есть замыкание любого элемента совпадает со своим замыканием;
4. замыкание объединения двух (а поэтому и любого конечного числа) подмножеств из C равно объединению замыканий этих подмножеств:  ;
5. всякое подмножество, состоящее из одного элемента, замкнуто.

Элемент x называется замкнутым если он совпадает со своим замыканием.

Во всяком частично упорядоченном множестве  можно давать тривиальное замыкание, полагая = для всех .

Отношение замыкания задано также, если система  подмножеств множества C частично упорядочена по теоретико-множественному включению.

Если  в множестве C задано отношение замыкания, то само множество C замкнуто, как замыкание самого себя. И пересечение любой системы замкнутых подмножеств в C само замкнуто.

Системы открытых и замкнутых множеств являются взаимно дополняющимися.

Ряд понятий  топологии (окрестность точки, точки  прикосновения и другие) рассматриваются, как правило, в основном курсе высшей математики. Здесь остановимся лишь на тех положениях, которые обычно не находят там отражения.