Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2011 в 12:19, дипломная работа

Описание работы

Возникла следующая задача: имеется система с четырьмя состояниями. В ней протекает марковский процесс. Известен граф состояний этой системы, то есть все возможные переходы из одного состояния в другое. Имеются данные заболеваемости, смертности за 1998-2002 гг. Нужно найти интенсивности переходов из одного состояния в другое за эти пять лет и произвести оценку динамики роста или динамики снижения смертности, заболеваемости от СПИДа. Рассмотреть общую задачу (без возрастных групп), также рассмотреть отдельно определение интенсивностей перехода для детей и взрослого населения России.

Содержание работы

Введение 3
1 Что такое актуарная математика? 4
2 Общие сведения о цепях Маркова 6
3 Переходные вероятности. Матрица перехода 9
4 Уравнения Колмогорова для вероятностей перехода 12
5 Постоянные интенсивности переходов 15
6 Определение вероятностей перехода из таблиц смертности 17
7 Расчет вероятностей перехода 18
8 Краткое описание метода Рунге – Кутта 19
9 Нахождение интенсивностей перехода по заданным вероятностям 21
10 Результаты вычислений 22
10.1 Результаты вычисления интенсивностей переходов ………………………….22
10.2 Сравнение статистических и вычисленных вероятностей ……………………23
10.3 Графики сравнения интенсивностей переходов ………………………………25
10.4 Анализ результатов ……………………………………………………………...30
11 Заключение 31
Литература 32
ПРИЛОЖЕНИЕ А 33
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 35

Скачать архив (126.25 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 1 файл

ДИПЛОМНАЯ.doc

— 505.00 Кб (Скачать файл)

, (9.1)

Наша задача состоит в том, чтобы по возможности уменьшить разброс между и , то есть чтобы .

2. Меняем , то есть сначала все уменьшаем, получим матрицу , затем все увеличиваем и получим другую матрицу .

3. Вычисляем и , находим и и сравниваем с .

Если , то снова уменьшаем и рассчитываем вероятности перехода.

Если , то сужаем разброс изменения параметров .

4. Выполняем предыдущий пункт до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть .

10 Результаты вычислений

10.1 Результаты вычисления интенсивностей переходов

Таблица 1 - Результат вычисления интенсивностей за 1998 – 2002 гг., человек в год

Единая возрастная группа	Интенсивности	1998	1999	2000	2001	2002
		-0,0152736	-0,01544039	-0,01543509	-0,01636781	-0,01622608
		0,0000766	0,00021659	0,00063699	0,00126091	0,00161605
		0,015197	0,0152238	0,0147981	0,015069	0,01461003
		-0,00001248	-0,00001841	-0,00001841	-0,00004545	-0,000052041
		0,00000513	0,00000591	0,000007056	0,00000793	0,000008441
		0,00000735	0,0000125	0,00002439	0,00003752	0,0000436
		-0,00000371	-0,000004321	-0,000005218	-0,000005908	-0,00000628
		0,00000371	0,000004321	0,000005218	0,000005908	0,00000628
Дети (0-14 лет)		-0,00205518	-0,00231909	-0,00230401	-0,00227896	-0,00225814
		0,00000212	0,000002901	0,00000438	0,00000665	0,00000761
		0,00205306	0,00231619	0,00229963	0,00227231	0,002250531
		-0,000002243	-0,000002341	-0,000002391	-0,000002489	-0,000002519
		0,000001322	0,000001325	0,000001345	0,000001374	0,000001391
		0,000000921	0,000001016	0,000001046	0,000001115	0,000001128
		-0,000000874	-0,000000874	-0,000000886	-0,000000917	-0,000000925
		0,000000874	0,000000874	0,000000886	0,000000917	0,000000925

10.2 Сравнение статистических и вычисленных вероятностей

Таблица 2 - Сравнение статистических и вычисленных методом Рунге – Кутта вероятностей перехода в единой возрастной группе населения России за 1998 – 2002 гг.

1998		1999		2000		2001		2002
Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности
0,9848691	0,984869	0,9846776	0,984677	0,9846832	0,984683	0,984201	0,98420098	0,983902393	0,983902392
0,00007669	0,00007668	0,000215824	0,00021582	0,000632451	0,00063245	0,00125056	0,001250556	0,0016022	0,001602126
0,0155433	0,01505432	0,015107177	0,015107176	0,01468454	0,014684549	0,014548457	0,01498456	0,01449548	0,014495479
0,9999752	0,999987517	0,999981523	0,999981522	0,999968645	0,999968644	0,99995456	0,999954561	0,9999482	0,999948157
0,00000513	0,000005133	0,00000591	0,000005908	0,000007056	0,000007066	0,000007928	0,000007929	0,000008443	0,000008444
0,000007352	0,00000735	0,00001256	0,00001257	0,00002432	0,0000243	0,00003752	0,00003751	0,00004342	0,0000434
0,99999628	0,999996282	0,99999566	0,999995669	0,99999478	0,999994782	0,99999409	0,999994092	0,999993726	0,999993725
0,00000372	0,000003718	0,000004332	0,000004331	0,000005219	0,000005218	0,00000591	0,000005908	0,000006276	0,000006275

Таблица 3 - Сравнение статистических и вычисленных методом Рунге – Кутта вероятностей перехода в группе детей за 1998 – 2002 гг.

1998		1999		2000		2001		2002
Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности	Статис- тические вероятности	Вычис- ленные вероятности
0,9979477	0,997947	0,9976833	0,997683	0,997697	0,9976975	0,997723485	0,99772348	0,997746803	0,9977468
0,000002112	0,00000211	0,000002891	0,00000289	0,00000435	0,000004356	0,00000662	0,00000663	0,00000758	0,000007581
0,0020508	0,00205089	0,0023141	0,00231411	0,00229865	0,00229866	0,002269895	0,00226989	0,002245617	0,002245618
0,999997755	0,999997754	0,999997662	0,999997665	0,999997613	0,999997615	0,999997515	0,999997516	0,999997494	0,999997495
0,000001324	0,000001325	0,000001324	0,000001325	0,000001345	0,000001346	0,000001373	0,00000137	0,00000138	0,00000139
0,00000922	0,000000923	0,000001014	0,000001016	0,000001042	0,000001044	0,000001112	0,000001113	0,000001126	0,000001127
0,999999127	0,999999128	0,999999127	0,999999128	0,999999113	0,999999114	0,999999085	0,999999086	0,999999077	0,99999907
0,000000873	0,000000874	0,000000873	0,000000874	0,000000887	0,000000888	0,000000915	0,000000916	0,000000923	0,000000924

10.3 Графики сравнения интенсивностей переходов

Рисунок 3 – Сравнение интенсивностей перехода из состояния «здоров» в состояние «ВИЧ – инфицирован»

Рисунок 4 – Сравнение интенсивностей перехода из состояния «здоров» в состояние «мертв»

Рисунок 5 – Сравнение интенсивностей перехода из состояния «ВИЧ – инфицирован» в состояние «болен СПИДом»

Рисунок 6 – Сравнение интенсивностей перехода из состояния «ВИЧ – инфицирован» в состояние «мертв»

Рисунок 7 – Сравнение интенсивностей перехода из состояния «болен СПИДом» в состояние «мертв»

10.4 Анализ результатов

В результате вычислительного эксперимента были вычислены интенсивности и вероятности переходов с точностью до 0,0001, которую обеспечивает метод Рунге – Кутта. Приведем таблицу, которая показывает максимальные модули разностей между статистическими и вычисленными вероятностями переходов:

Таблица 4 – Максимальные модули разностей между статистическими и вычисленными вероятностями переходов

Возрастные группы	1998	1999	2000	2001	2002
Дети (0-14 лет)	0,0000006	0,0000005	0,0000001	0,00000001	0,0000002
Единая группа	0,000002	0,0000001	0,0000003	0,0003	0,0000003

Результаты вычислительного эксперимента представлены в виде таблиц и графиков. Графики интенсивностей перехода «здоров» / «ВИЧ – инфицирован» показывают, что силы переходов с 1998 года начинают возрастать. Графики интенсивностей перехода «здоров» / «мертв» с 1998 года по 1999 год возрастают, с 1999 года по 2000 год – убывают, с 2000 года по 2001 год – возрастают и с 2001 года по 2002 год снова убывают. Графики интенсивностей перехода «ВИЧ – инфицирован» / «болен СПИДом» возрастает в единой возрастной группе, а у детей – почти прямая. Графики интенсивностей перехода «ВИЧ – инфицирован» / «мертв» резко возрастает в единой возрастной группе. Графики интенсивностей перехода «болен СПИДом» / «мертв» также возрастает в единой возрастной группе и медленно – в группе детей.

11 Заключение

С использованием теории марковских процессов построена модель смертности, заболеваемости СПИДом, состоящая из четырех состояний (здоров, ВИЧ – инфицирован, болен СПИДом, мертв). Моделирование проведено для всего населения в целом и отдельно для группы детей. Для нахождения вероятностей перехода использованы таблицы смертности за 1998 – 2002 гг. (по данным Федерального научно – методического центра по профилактике и борьбе со СПИДом МЗ РФ).

В ходе выполнения работы был произведен расчет системы дифференциальных уравнений Колмогорова – Чэпмена методом Рунге – Кутта четвертого порядка. В результате вычислительного эксперимента были получены вероятности и интенсивности переходов, построены графики сравнения интенсивностей во всех возрастных группах.

На основе полученных результатов произведено сравнение статистических и вычисленных методом Рунге - Кутта вероятностей. Полученные результаты показывают, что построенная модель достаточно хорошо отражает реальные данные.

Литература

В.Н. Костин, Н.А. Тишина. Статистические методы и модели. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. -138 с.
Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело ЛТД, 1998.-232 с.
К.Хартман, Э.Лецкий, В.Шефер. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М.: Мир, 1977.-125 с.
Журнал «Демографический ежегодник» Госкомстата - 1998г. // www.demoscope.ru
Кошкин Г.М. Основы актуарной математики. – Томск: Томский Государственный университет, 2002. – 116 с.
Информационный бюллетень №25 «ВИЧ-инфекция» Федерального научно-методического центра по профилактике и борьбе со СПИДом и Центрального НИИ эпидемиологии МЗ РФ // www.demoscope.ru
Трушкин Н.К. Актуарии – кто они? // www.pension.ru
Спивак С.И. Что такое финансовая математика. // Соросовский образовательный журнал. – 1996. - №8. – С.123-126.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1964. – 484 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. – 432 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 630 с.
Андреев В.А. Опыты актуарных расчетов. // www.valnet.ru

Информация о работе Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели