Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

БАШКИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НЕФТЕКАМСКИЙ  ФИЛИАЛ 
 
 

Экономико – математический факультет 

Кафедра математического и программного обеспечения                                 вычислительных машин 
 
 
 
 
 
 

Бурбах  Ольга Яковлевна 
 

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА 

Актуарная математика. Интенсивности переходов                                                     в математической модели 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Нефтекамск-2006 

Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Введение

     При построении моделей заболеваемости, смертности, выздоравливаемости от различных инфекционных и паразитарных болезней (в данной работе – от ВИЧ/СПИДа) широкое применение занимают марковские модели, использование которых позволяет определить переходные вероятности, а по ним характеристики, необходимые для расчетов страхования. Марковская модель со многими состояниями обеспечивает подходящее описание возможных случаев во многих областях, связанных со страхованием.

      Возникла  следующая задача: имеется система  с четырьмя состояниями. В ней протекает марковский процесс. Известен граф состояний этой системы, то есть все возможные переходы из одного состояния в другое. Имеются данные заболеваемости, смертности за 1998-2002 гг. Нужно найти интенсивности переходов из одного состояния в другое за эти пять лет и произвести оценку динамики роста или динамики снижения смертности, заболеваемости от СПИДа. Рассмотреть общую задачу (без возрастных групп), также рассмотреть отдельно определение интенсивностей перехода для детей  и взрослого населения России. 

 

   

1. Что такое актуарная  математика?

     В последние годы в нашей стране значительные изменения произошли в сфере приложений математики. Если раньше развитие прикладной математики в решающей степени стимулировало задачи естественных наук и связанных с ними отраслей промышленности (что в значительной степени явно или неявно определялось военно – промышленным комплексом), то сегодня трудности в этих областях заставили математиков активно искать новые сферы приложений своих знаний.

     Социально – экономические причины перенесли  интересы, во всяком случае специалистов по прикладной математике, на новые области, которые практически не были известны в нашей стране до начала 90-х годов. Активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности поставило необходимость привлечения в эти области специалистов совершенно нового для нашей страны типа. Одной из новых для нашей страны областей оказалась финансовая математика.

     Актуарная математика - это область математики, которая занимается математическими проблемами финансов. Одной из важнейших областей применения является страхование. Приведем краткий иллюстративный пример. Человек определенного возраста заключает договор со страховой компанией на определенных условиях. Он покупает за определенную сумму страховой полис, чтобы со временем ему или его наследникам в случае его смерти была выплачена большая сумма денег. Страховая компания при этом также хочет получить определенную прибыль. Актуарная математика, широко использующая методы теории вероятности и математической статистики, и призвана дать рекомендации, которые были бы привлекательными как для клиентов, так и для страховых компаний. Эта наука является теоретической базой для расчета страховых премий по различным типам страховых контрактов. Поэтому актуарная математика называется часто "страховой математикой".

     Актуарии  — это многосторонние специалисты - аналитики, имеющие хорошую теоретическую подготовку и прикладные умения в таких науках, как математика, статистика, экономика, демография, теория вероятностей и финансы. Эти аналитические и практические знания применяются для финансового моделирования с учетом случайных социальных факторов, что позволяет предупреждать и решать экономические и социальные задачи коллективных финансовых институтов. На основании собранной статистики, с помощью запрограммированных на компьютере математических моделей актуарии строят финансовые прогнозы на близкий и далекий временной горизонт, широко применяя методы управления риском. Иначе говоря, актуарии предоставляют топ - менеджерам аналитические обоснования и оценки последствий возможных решений. В случае же неудачи проекта именно актуарии обеспечивают практическое решение выхода из сложившейся ситуации с наименьшими потерями.

     Из  этого определения ясно, что актуарий должен сочетать в себе достаточно серьезную математическую квалификацию с квалификацией в области бизнеса – экономической и юридической. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует актуарную науку, которая в свою очередь является теоретической основой актуарной деятельности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

2. Общие сведения о цепях  Маркова

     Марковские  случайные процессы названы по имени  выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего  изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и другие.

     Благодаря сравнительной простоте и наглядности  математического аппарата, высокой  достоверности и точности получаемых решений особое внимание Марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

     Марковские  случайные процессы относятся к  частным случаям случайных процессов. В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции.

     Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной. По иному, случайную функцию можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.

     Как правило, считают, что если аргументом случайной функции является время, то процесс, основанный на такой функции, называют случайным. Также под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

     Нетрудно  заметить, что если обозначить состояние  и изобразить зависимость , то такая зависимость и будет случайной функцией.

     Случайные процессы классифицируются по видам  состояний  и аргументу t. При этом случайные процессы могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем.

      Системы  с непрерывным временем предполагают, что переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент  времени, т. е.  время  пребывания системы в каждом состоянии представляет непрерывную случайную величину.

      Для систем с дискретным временем время пребывания системы в каждом состоянии фиксированное, а моменты переходов размещаются на  временной  оси  через  равные  промежутки  и называются "шагами" или "этапами". Время нахождения  системы в некотором состоянии представляет дискретную случайную величину.

     Кроме указанных выше классификаций случайных  процессов, существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями случайных процессов.

     Остановимся подробнее на понятии марковской цепи. Отметим, во-первых, что случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью.

     Если  случайная последовательность обладает марковским свойством, то она называется цепью Маркова.

     С другой стороны, если в случайном  процессе состояния дискретны, время  непрерывно, то такой случайный процесс  называется марковским процессом с непрерывным временем.

     Различают марковские системы по количеству состояний, в которых находится система: системы с конечным состоянием и системы с бесконечным состоянием.

     Марковский  случайный процесс называется однородным, если переходные вероятности остаются постоянными в ходе процесса и не зависят от номера испытания.

          Модель марковской цепи может быть представлена в виде ориентированного взвешенного графа, который представляет собой  совокупность вершин, изображающих   возможные   состояния   системы   ,   и совокупность ветвей,  изображающих возможные переходы системы из одного состояния в другое (рисунок 1). Каждой дуге соответствует переходная вероятность - это условная вероятность перехода системы на k-ом шаге в состояние при условии,  что на предыдущем (k-1)-ом этапе система находилась в состоянии .                                               

                    

                       
 
 
 

                                       ЗДОРОВ                    СПИД 
 
 
 
 

                        МЕРТВ 

                                Рисунок 1 – Модель марковской цепи

      Марковская  цепь называется однородной,  если переходные вероятности не зависят от номера шага.  Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

      В некоторых случаях, несмотря на случайность  процесса, имеется возможность до определенной степени управлять законами распределения или параметрами переходных вероятностей. Такие марковские цепи называются управляемыми. Очевидно, что с помощью управляемых цепей Маркова особенно эффективным становится процесс принятия решений.

            Основным признаком дискретной марковской цепи является детерминированность временных интервалов между отдельными шагами (этапами) процесса. Однако, часто в реальных процессах это свойство не соблюдается и интервалы оказываются случайными с каким-либо законом распределения, хотя марковость процесса сохраняется. Такие случайные последовательности называются полумарковскими. 

 

3   Переходные вероятности. Матрица переходов

            Переход системы  из состояния в состояние будем  рассматривать в дискретные моменты времени.

            Система считается  заданной, если заданы два условия:

            1. Заданы вероятности  возможных состояний системы  . Вероятности нахождения в этих состояниях – это доли времени нахождения в каждом состоянии. Имеется вектор начальных вероятностей начального состояния системы  

                                    

            2. Заданы условные  вероятности переходов из состояния  в состояние за время . Это вероятность перехода из i-го в j-ое состояние за время (причем, чем больше , тем больше вероятность). Данные вероятности переходов задаются с помощью матрицы, которая имеет следующий вид:

                              

            Заметим, что в  обозначении  первый индекс указывает номер предшествующего, а второй – номер последующего состояния.

            Предположим, что  имеется конечное число состояний, пронумерованных  , т.е. процесс имеет пространство { }.

            Неоднородный по времени марковский процесс описывает изменение состояний индивидуумов в зависимости от возраста s. Ясно, что применительно к задаче социального страхования процесс X(t) должен быть непрерывным и с конечным числом состояний. Такие процессы полностью описываются переходными вероятностями