Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели

                                           ,                  (3.1)             

i, j =1..k; s, t≥0, т.е. вероятностями нахождения индивидуума в возрасте s+t в состоянии j при условии, что в возрасте s он находился в состоянии i (или будущее процесса (после момента времени s) зависит только от состояния в момент времени s и не зависит от истории процесса до момента s).

   В случае i=k, когда речь идет об умерших, очевидно ,

т.е. возврат  из совокупности умерших невозможен.

      Определим функцию вероятности перехода 

             ,        (3.2)

и положим, что 

                                                                   (3.3)

для любого t³0.

      В случае страховых моделей с непрерывным  временем наравне с переходными вероятностями удобно использовать соответствующие интенсивности перехода из состояния i в состояние j индивидуума в возрасте s за бесконечно малый промежуток времени (интенсивности переходов проставляются у соответствующих дуг графа; такой граф называется размеченным). Интенсивности перехода могут быть определены как:

                                  ,      .     (3.4)

      Это определение позволяет интерпретировать интенсивность перехода как «мгновенную» по времени вероятность смены  состояния i на состояние j в возрасте s. Например, интенсивность смертности есть вероятность того, что человек, доживший до определенного возраста, умрет в последующую единицу времени, если, конечно, эта единица достаточно мала.   

          Кроме интенсивностей   переходов, для  описания  непрерывных марковских   цепей   должен  быть  задан   вектор   вероятностей состояний   системы   в  исходный   момент   времени .

          Зная множество  состояний системы,  значения интенсивностей переходов ,  а также вектор  начальных вероятностей системы ,  определим вероятности состояний системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 Уравнения Колмогорова для вероятностей перехода

     Рассматривая  марковские процессы с дискретными  состояниями и непрерывным временем, нам удобно будет представлять себе, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлении и т. д.). Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

     Если  система S находится в каком-то состоянии S_i, из которого есть непосредственный переход в другое состояние S_j, то мы себе это будем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии S_i действует простейший поток событий, переводящий её по стрелке S_i S_j. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из S_i в S_j.

     Для наглядности очень удобно на графе  состояний у каждой стрелки проставлять интенсивность перехода из состояния S_i в состояние S_j. На рисунке 2 дан граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями (мы будем называть такой граф размеченным).

 
 

                 ВИЧ

                               
 

                                 ЗДОРОВ                                               СПИД 
 
 

                                 

                 МЕРТВ 
 

                                       Рисунок 2 – Граф состояний

- интенсивность перехода из  состояния “ здоров ” в  состояние  ”ВИЧ-инфицирован”;

- интенсивность перехода из состояния “здоров” в состояние                         ”мертв”;

- интенсивность перехода из  состояния “ ВИЧ-инфицирован ” в состояние   ”болен СПИДом”;

-  интенсивность перехода из состояния “ВИЧ-инфицирован” в состояние   ”мертв”

   - интенсивность перехода  из состояния “болен СПИДом” в состояние “мертв”.

     Построим математическую модель данного процесса.

     Имея  в своем распоряжении размеченный  граф состояний, можно найти все  вероятности перехода как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемые уравнения Колмогорова — особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности перехода.

                             (4.1)

при .

     Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности перехода, прежде всего надо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы S_i, то в начальный момент (при ) , а все остальные начальные вероятности равны нулю.

      При вычислении актуарных значений нам  понадобятся функции вероятности перехода. Интенсивности переходов и функции вероятности перехода связаны с прямыми и обратными уравнениями Колмогорова:

                                  (4.2)

                                      (4.3)

соответственно, с граничными условиями . 

  Анализируя дифференциальные  уравнения  Колмогорова,  можно

сформулировать  формальное правило для их написания  непосредственно по размеченному графу системы.

          В левой части уравнения стоит  производная  от  вероятности рассматриваемого состояния  по  времени,  а  в  правой  части  - столько слагаемых,  сколько дуг графа связано с  рассматриваемым состоянием. Каждое  слагаемое   равно   произведению  плотности вероятности перехода,  соответствующей  данной  дуге  графа,  на вероятность того состояния, из которого исходит дуга графа. Если стрелка направлена      из      рассматриваемого      состояния, соответствующее произведение  имеет  знак  минус.  Если  стрелка направлена в состояние, то произведение имеет знак плюс.

      Это правило    составления    дифференциальных    уравнений Колмогорова для  вероятностей   состояний   является   общим   и справедливо для любой непрерывной марковской цепи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5    Постоянные интенсивности переходов

     Точные выражения  для функций вероятности переходов  можно получить, когда для всех . Такой марковский процесс является однородным по времени или стационарным. Предположение, что интенсивности переходов постоянны, подразумевает, что время, проведенное в каждом состоянии, имеет экспоненциальное распределение, а также, что функции одинаковы для всех и далее будут просто обозначаться как .

     Удобно интенсивности  перехода и функции вероятностей перехода представлять в матричной форме. Пусть - матрица размером с элементами и - матрица размером с элементами . Обратимся к системе Колмогорова – Чэпмена (4.1). Она будет выглядеть так:

          (5.1)

      Также в соответствии с (4.2) и (4.3) дифференциальные уравнения Колмогорова можно записать как

           (5.2)

           (5.3)

с краевыми условиями  .

      Для нашей задачи (рисунок 2) матрица интенсивностей и матрица вероятностей перехода имеют следующий вид:

       

Причем для  любого момента времени:

     

Причем для  любого момента времени:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6  Определение вероятностей перехода из таблиц смертности

     Таблицы смертности представляют собой числовую модель процесса вымирания некой абстрактной совокупности людей. Основное ее содержание – количества людей каждого возраста , оставшиеся в живых из первоначальной совокупности, равной 100000 человек, и число умерших в каждой возрастной группе за год при некоторых заданных (наблюдавшихся в недавнем прошлом) коэффициентах смертности.

     Показатели  смертности связаны очевидными соотношениями:

      ,    (6.1)

где  - количество умерших в течение года после возраста лет;

- вероятность умереть в течение  года после возраста  лет.

      По  данным смертности находят и вероятности умереть в определенных возрастах. Вероятность умереть в течении года для лица в возрасте лет составит:

      .     (6.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7  Расчет вероятностей перехода

     Определим вероятности перехода из состояния в состояние в момент лет. Для этого выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова – Чэпмена. Для модели, изображенной на рисунке 2, система уравнений имеет следующий вид:

           
 
 
 
 
 

                                                                 (7.1)      
 
 
 

и задаются следующие  начальные условия:

                         (7.2) 
 
 
 
 
 
 

8   Краткое описание метода Рунге – Кутта

     Рассмотрим  задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

                      ,  ,      (8.1)

или, подробнее,

                      , ,            (8.1’)

         Хорошо  известны условия задачи, гарантирующие  существование и единственность решения задачи Коши. Предположим, что функции непрерывны по всем аргументам в замкнутой области

          (8.2)

Из непрерывности  функции  следует их ограниченность, то есть существование константы такой, что в выполняются неравенства .

      Предположим, что в функции удовлетворяют условию Липшица по аргументам , то есть

  (8.3)

Если выполнены  сформулированные выше условия, то существует единственное решение  .

      Рассмотрим  метод Рунге – Кутта для  задачи (7.1) с начальными условиями (7.2).

           (8.4)

при

       ,      (8.5)

тогда

      ,    (8.6)

где - коэффициенты, равные:

 
 
 
 

 

   9 Нахождение интенсивностей перехода по заданным вероятностям

         Для того, чтобы найти интенсивности переходов нужно оценить значения неизвестных параметров (интенсивностей) системы по результирующим данным. Алгоритм оценивания состоит в следующем:

1.  Задаемся какими – то значениями интенсивностей, то есть задаем некоторую матрицу и рассчитываем . Вычисляем разность между статистическими и вычисленными вероятностями.