Шпаргалка по "Маркетингу"

33. Правила 3х сигм

Пусть НСВ Х  задана дифферен.ф-цией f(x), тогда по теореме вероят-ти того, что х примет значение принадлежащее интервалу ), будет равна 

Пусть НСВ Х  подчиняется нормал.закону распределения. В этом случае вероят-ть того, что Х примет значение принадлежащее интервалу ), равна 

Можно воспользоваться  готовыми таблицами, приведя данную формулу к виду 

Определим вероят-ть что отклонение нормал.распреленной величины Х по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа а, т.е. найдем вероят-ть осуществления вероят-ти 
 

На основании  выше приведенной формулы получим 

В этом случае если параметр а равен 0, мы имеем  

Зададим параметру  значение равное Gt . получим . Если =3, то =3, тогда вероят-ть того, что отклонение нормал.распределенной СВ Х по абсолютной величине будет равно 2Ф(3). Данная вероят-ть выражается в существование 3^хG. Если НСВ подчиняется нормал.закону распределения, то абсолютная величина её отклонения от матем.ожидания не превосходит утроенного вреднего квадратического отклонения. 

34. Теорема Ляпунова

При проведении какого-либо статистического исследования, сопровождающегося сбором данных об изучаемом количественном признаке, всегда сталкиваются с проблемой  ошибки данных. Проблема может быть вызвана как несовершенства методов  и инструментов, используемых при  проведении стат. исследования, так  и заранее непредусмотренных  факторов. Ошибки делятся на систематические и случайные.

Систематические ошибки – ошибки, вызванные несовершенством  методов и инструментов, применяемых  при проведении исследования. Теоретически все эти ошибки могут быть исключены. Случайные ошибки – ошибки, которые  вызваны под воздействием целой  совокупности случайных факторов. Результатом  совместного действия всех случайных  факторов является суммарная случайная  ошибка, которую необходимо оценить. Предположим, что осуществляется серия  наблюдений, как CВ Х. Ошибки, которые возникают в ходе произведения наблюдений данной СВ, формируются по воздействием многих незавершенных факторов х₁,х₂, …, х_n. В этом случае ошибка , возникающая при наблюдении СВ Х, может быть охарактеризована след.образом , где f – законность образованных ошибок.

В случае если ф-ция f удовлетворяет условию дифферентности по совокупности всех переменных, тогда ф-ция f может быть предназначена для формулы Пейлора 

1-ое линейное  приближенное значение ошибки  является суммарной независимой СВ :  

Ошибка наблюдения является СВ, поэтому для наиболее точной характеристики данной величины необходимо знать закон распределения вероят-тей СВ . Решение поставленной проблемы было найдено русским математиком Ляпуновым, который открыл централ.предельную теорему теории вероят-тей.

Следствие из теоремы: если СВ Х – сумма очень большого числа попарно-независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ Х подлежит закону распределения, которых близок к нормал.закону распределения вероят-тей СВ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

35. Ассиметрия и эксцесс

Теоретическим распределением является распределение  вероят-тей случайных величин. Подобное распределение изучается в теории вероят-ти. В том случае если изучаемое распределение вероят-тей отличается от нормал. распределения, то возникает необходимость количественной оценки этого различия. Данное оценивание осуществляется с помощью спец. Характеристик (в частности показатели ассиметрии и эксцесса).

Если СВ подчиняется нормал.закону распределения, то в данном случае показатели ассиметрии и эксцесса равны 0. Если ассиметрия и эксцесс имеют небольшие значения, можно предположить, что изучаемое распределение вероят-ти СВ близок к 0. Если же напротив ассиметрия и эксцесс имеют большие значения, то это является признаком значительного отклонения изучаемой величины от нормал.распределения.

Для оценки ассиметрии используется понятие симметрического распределения, график которого симметричен относительно прямой х=М(х). В данном случае каждый централ.момент нечетного порядка равен 0, т.е.

   , когда k=1,3,5…

Для несимметрических распределений централ.моменты нечетного порядка отличны от 0. Следовательно любой из централ.моментов может служить для оценки ассиметрии, кроме централ.момента первого порядка, который равен 0 для любого распределения

.    Оценка ассиметрии  осуществляется с  помощью централ.момента 3-го порядка. Однако величина данного показателя зависит от единиц, в которых изучается СВ.

Для устранения этого недостатка централ.момент делят на показатель G в кубе, сто позволяет получить безразмерную характеристику.

Ассиметрия теоретического распределения – отношение централ.момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения .   Показатель ассиметрии является положительным, если данная часть кривой распределния на графике расположена справа от М(х) и отрицательным – если слева от М(х).

Показатель эксцесса применяется для оценки большого или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с  нормал.кривой. Эксцесс теоретического распределения – это характеристика, которая рассчитывается по формуле . Если СВ подчиняется нормал.закону распределения, то =0 следовательно = 3. Если показатель отличен от 0, то кривая этого распределения отличается от нормал.кривой.

> 0  => кривая имеет более  высокую и острую  вершину, чем нормал.кривая.

< 0  => кривая распределения  имеет более низкую  и плоскую вершину,  чем нормал.кривая. Это при условии, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математ.ожидание и дисперсию. 

36. Функция одного  случайного аргумента  и её распределения

Y наз-ся ф-ции случайного аргумента х в том случае, если каждому возможному значению СВ Х соответствует одно возможное значение СВ Y :

Необходимо найти  распределение ф-ции Y по известному распределению аргумента Х. Рассмотрим несколько решений данной задачи: пусть аргумент Х – дискретная СВ

Если различным  возможным значением аргумента  Х соответствует различное возможное  значение ф-ции Y, то вероят-ти соответствующих значений Х и Y равны между собой. Другими словами возможное значение Y находят из равенства , где - возможное значение Х. Вероят-ть возможного знаячения Yнаходят из равенства .

Если различным  возможным значениям Х соответствуют  значения Y. Среди которых есть одинаковые значения, то вероят-ти повторяющихся значения Y необходимо суммировать. Другими словами вероят-ть повторяющегося значения Y равна сумме вероят-тей тех возможных значений Х, при которых Y принимает одно и тоже значение.

Пусть величина Х – НСВ в том случае, если ф-ция является дифференцируемой в строго возрастающей или строго убывающей ф-цией, то дифференцируемая ф-ция q(y) СВ Y определяется равенством  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

37. Математ.ожидание, функции одного аргумента

Пусть задана ф-ция случайного аргумента Х. Задача состоит в нахождении М(Y) при известном законе распределения аргумента Х. 2 способа:

Аргумент Х  задан как дискретная СВ с возможными значениями х₁,х₂, …, х_n. Вероят-ти данных возможных значений соответственно равны р₁,р₂, …, р_n. СВ Y также является дискретной величиной с возможными значениями

,  ,  …, 

Если СВ Х приняло возможное значение х_i => СВ Y примент значение . Тогда вероят-ти возможных значения СВ Y также равны р₁,р₂, …, р_n. Таким образом матем.ожидание ф-ции можно найти по формуле

1. Аргумент Х является НСВ, которая задана дифферен.ф-цией . В данном случае матем.ожидание может быть рассчитано двумя способами:
1. Можно рассчитать дифферен.ф-цию q(y) случайной величины Y, а затем применить формулу:
2. Если расчет дифферен.ф-ции q(y) является достаточно трудоемким, то матем.ожидание ф-ции можно найти по формуле

  Если возможные  значения СВ Х принадлежат интервалу (a;b), то матем.ожидание находят по формуле  

38. Функция двух случайных величин.Распределение суммы независимых слагаемых.

Если каждой паре возможных значений случайных  величин Х и Y соответ-ствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y :  Z = φ(X, Y).

Рассмотрим в  качестве такой функции сумму  Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.

1) Если  X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения   Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.

2)      Если  X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то, если плотность вероятно-сти хотя бы одного из аргументов задана на (-∞, ∞) одной формулой, то плотность суммы g(z) можно найти по формулам             

     

где f₁(x), f₂(y) – плотности распределения слагаемых. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то                          

  Замечание. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин называют композицией. 

39. Показательное распределение  (экспоненциальное)

Это распределение  которое описывается деф.функцией вида:

Где -параметр деф.функции и , таким образом показательное распределение в отличии от нормального задается только . В качестве примера НСВ которая подчиняется показательному закону распределения можно привести временной интервал появления 2х последовательных событий простейшего потока.

Интегральная  функция: На практике часто становится задача отыскания вероятности попадания в (a,b) НСВ Х подчиняющейся показательному закону распределения вероятности который задан интегральной функцией вида

Для решения  данной задачи с учетом того что получаем значение функции затабулировано.

Найдем Мат.ожидание НСВ Х распределенной по показательному закону: в результате 2го интегрирования получаем

Дисперсия НСВ Х распределенной по показательному закону: полученный интеграл находим двукратного применения формулы интегрирования по частям

Среднеквадратическое  отклонение НСВ Х:  

40. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.    Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция                F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна       

                              R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).                                       

Эта функция  называется функцией надежности.              

 Показательный  закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет  показательное распределение, то есть                           

 F(t) = 1 – e^-λt .                      

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид: