Шпаргалка по "Маркетингу"

будет приближаться к 1, если число с.в. достаточно мало, т.е. для любого положительного числа E существует предел: 
 

25. Теорема Бернулли

Осущ-ся n независимых испытаний, в каждом из этих испытаний вер-ти наступления соб. А-постоянна и равна p. Необходимо определить какова будет относительная частота появлении соб.А, для этого используют теорему Бернулли. Теорема. Если в каждом, из n независисых испытаний, соб.А имеет постоянную вероятность p, то как угодно близка к 1 вер-ть того, что отклонение относительной частоты m/n от вер-ти p, но абсолютная величина будет сколь угодно малой, если число наступлений достаточно велико, т.е. при соблюдении условий теоремы, справндливо равенство: lim p(|m/n-p|<E)=1 Док-во: xi-где х=1,2,3…n. Пусть xi-дискретная случайная величина, хар-щая числопоявления соб. В каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: соб.А-наступило с вер-тью p и 0-соб.А не наступило, с вер-ю q=1-p. Случайная дискретная величина xi-является попарно независимой и дисперсии их ограничены, следовательно к данной величине можно применить теорему Чебышева: Мат.ожидание каждой из величин xi- равно вер-ти p наступления события, поэтому . Необходимо доказать, что дробь равна относительной частоте m/n появления соб.А, в n испытаниях. Каждая из величин xi, где i-1,2,3…n, при наступлении соб.А в соответст. испытании принимает значение равное 1, следовательно, тогда в испытаниях, с учётом последнего равенства можно записать: lim p(|m/n-p|<E)=1, ч.т.д.

При использовании  теоремы Бернулли необходимо учитывать  то, что из неё рав-во lim m/n=p. Главным утверждением теоремы является то, что при достаточно большом кол-ве испытаний относительная частота m будет сколь угодно мало отличаться от постоянной вер-ти p наступления события в каждом испытании, т.е. теорема Бернулли утверждает, что при       , что относительная частота              . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

26. Интегральный функции распределения. Вероятность случайной величины.

Рассмотрим случ.величину Х, возможные значения которой заполняют интервал (a;b). В данном случае нельзя указать все возможные значения х, поэтому для описания данного случ. величины используется интегральная функция распределения вероятностей. Обозначим через F(x)- вероятность соб., состоящего в том, что случ.велич. х меньшее х. х-действительное чилсо. Но вероятность соб. Х<x обозначим, как F(x) в том случае, если число х будет изменяться, то будет изменяться и F(x). Определение: интегральной функцией распределения называется функция F(x), которая определена для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение < x, т.е. F(x)=Р, когда Х<x. F(x)= P(X<x)

Случайная величина Х- является непрерывной в том случае, если её интегральная функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема. Свойства интегрируемой функции распределения вероятности.1). Значение интегрируемой функции заключается в интервале (0;1), 0 ≤F(x) ≤1. Док-во: данное свойство основывается на определении интегральной функции, как вер-ти, а вер-ть-неотрицательное число, которое не превышает 1. 2). F(x)-неубывающая функция, F(x2) ≥ F(x1), если х2>х1. Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a;b) равно прирощённо данной функции в этом интервале. P (a ≤ x ≤b) = F(b)-F(a). Следствие2: Вероятность того, что нсв Х примет одно определённое значение =0. 3). Если возможные значения случайной величины принадлежат (a;b), то F(x)=0,при x<a; F(x)=1, при x≥b. Следствие: если возможные значения интервальной случайной величины расположены на всей оси Ох, то справедливы предельные соотношения: limF(x)=0 и limF(x)=1. 

27. Дифференциальная  функция распределений  вероятностей нвс.

Определение:Дифер. функцией распределения f(x) называется первая производная от интегральной функции распределения. f(x)=F’(x)=> интегральная функция является первообразной для диф-ой функции.

Диф-ая функция непременима для задания распределения вероятностей дискретной случайной величины, если известна f(x) нсв, то на её основе можно вычислить вероятность того, что нсв примет значение, принадлежащее заранее заданному интервалу. Теорема:Вероятность того, что нсв Х примет значение, принадлежащее (a;b) = опред.интегр. диф.функции, взятому в пределах от а до b.

P(a<x<b)=

Теорема:Если известна диф.функция f(x), то интегральная функцию F(x) можно найти по формуле:

29. Закон равномерного  распределения вероятностей.

При решении  задач, которые выдвигает практика, сталкиваются с различными распределениями  нсв. Диф.функция этих распределений называется также законами распределения. Определение: Распределение вер-тей нсв называют равномерным, если на интервале, котором все возможные значения случайной величины, дифферен.функция имеет постоянное значение.

Закон распределения  нсв можно определить заданием, либо интегрир. F(x) нсв, либо диффер.функции f(x). Для равномерного распределения интегральной функции F(x) непрерывной случайной величины имеет вид и график:

            0, при х≤0

F(x)== x-a/b-a, а≤x≤b

Определим диф.функцию равномерного распределения при условии, что все возможные значения случайной величины находятся в интервале (a;b), на котором диф.функция сохраняет постоянное значение. f’(x)=c, т.е.

        f(x)=  C, при a<x<b

                   0, при x≤a, x≥b

По свойству (2) функция f(x) есть не собственные интеграл 

Таким образом c=1/b-a. График диф.функции f(x) нсв равномерного распределения выглядит так:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

28. Свойство дифферен.функции распределения вероят-тей

1. Дифферен.ф-ция неотрицательна f(x)0. Интегральная ф-ция есть неубывающая ф-ция => её производная. есть ф-ция неотрицательная.  График дифферен.функции называется кривой распределения.

2. Несобственный  интергал от дифферен.функции в пределах от :

Доказательство: Несобственный интергал – это выражение вероят-ти события состоящего в том, что СВ х примет значение принадлежащее интервалу , достоверное событие р=1. В том случае если все значения СВ х находятся в пределах интервала (a;b) 
 

=> предел отношения  вероят-ти того. Что  НСВ х примет  значение а интервале к длине этого интервала. равен значению интервал.ф-ции в точке Х. Значение в точке Х определяется как плотность вероят-ти в данной точке, те.е дифферен.ф-ция определяет плотность распределения вероят-ти для точки Х. 

30. Условные характеристики  НСВ

Пусть х – это НСВ, которая задана дифферен.ф-цией . Предположим, что все возможные значения величины х принадлежат отрезку [a;b]. Разобьем этот отрезок на n частей, длины которых и выделим в каждой из них произвольную точку , где i=1,2,3,…,n. Для того чтобы дать определение матем.ожиданию НСВ, составим сумму произведений возможных значений на вероят-ти их попадания в интервал  

Так как произведение приближенно равно вероят-ти попадания х в интервал . В результате перехода к пределу при условии, что длина наибольшего из полученных отрезков стремится к 0, получим открытый интеграл

Матем.ожидание НСВ Х, чьи возможные значения принадлежат отрезку [a;b] – это число равное определенному интегралу вида . В том случае если возможные значения НСВ Х принадлежат всей оси Х, то будет равно интегралу . Последнее справедливо при условии, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл вида 

Если данное условие не выполняется, то значение интеграла независимо от скорости снижения нижнего предела к , а верхнего – к по отдельности.

Дисперсия НСВ Х – это матем.ожидание квадрата её отклонения в том случае, если возможное значение НСВ Х принадлежит [a;b], то дисперсия определяется как

Если возможное  значение НСВ Х принадлежит всей оси ОХ, то дисперсия равна  

Среднее квадратическое отклонение НСВ Х – это корень квадратный из дисперсии данной величины

Те свойства матем.ожидания и дисперсии, которые были определены для дискретных случайных велични, справедливы и для НСВ Х. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

31. Нормальное распределение

Нормальное распределение  вероят-ти НСВ описывается дифференциальной функцией вида

f(x)=

Данная ф-ция задается 2 параметрами a и G, т.е. достаточно определить эти параметры, чтобы задать нормал. Распределение. Параметр а в этом случае понимается как матем. ожидание, а параметр G – как среднее квадратическое отклонение нормал. распределения.

Рассмотрим параметр а дифферен. Ф-ции нормал.распределения вероят-ти. Матем.ожидание нормал. распределения НСВ находится по формуле:

M(x) =

Введем новую  переменную ; zG + a = x , тогда dx = G dz. С учетом новой переменной z матем.ожидание можно записать в виде:

M(x) =

1-ое слагаемое  = 0; 2-ое слагаемое = a . Таким образом матем.ожидание нормал.распределения равно параметру а.

Рассмотрим параметр G дифферен.ф-ции нормал.распределния вероят-ти. Дисперсия нормал.распределния НСВ Х с учетом того что М(х)=а имеет вид:

D(x) =

Вновь используем переменную z,на основе к-рой получим след. равенство: zG+a=x ; dx=Gdz. С учетом новой переменной z дисперсию можно записать в след.виде:

D(x) =

В результате интегрирования данного выражения по частям получим  D(x) =  , следовательно G(x) = . Таким образом среднее квадратическое отклонение нормал.распределения равно параметру G. Если нормал.распределения определяется М(х) = 0 и G(x) = 1, то такое распределение называется нормальным, и дифферен.ф-ция нормал.распределения имеет вид: 

Вероят-ть того, что Х примет значение принадлежащее интервалу ), находиться по формуле: , где а – мат.ожидание, G – среднее квадратическое откл-е

   - функция Лапласа 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

32. Нормальная кривая

Дифферен.ф-ция нормал.распределенной НСВ имеет вид

График дифферен.ф-ция нормал.распределения вероят-ти наз-ся нормал.кривой или кривой Гаусса. Исследуем дифферен.ф-ция нормал.распределения с помощью метода дифферен. Исчисления:

Данная ф-ция определена на всей оси ОХ

Нормал.кривая расположена над осью ОХ, т.к. при всех значениях х ф-ция принимает положительные значения

Предел ф-ции при неограниченном возрастании х равен 0

  - это означает, что ось ОХ явл-ся горизонтальной асимптотой.

Найдем 1-ую производную  ф-ции для исследования её на экстремум 
 

При х=а, у’=0; при x< a , y’>0 ; при x> a , y’<0.

Отсюда следует, что при х= а ф-ция принимает максимальное значение

График симметричен  относительно прямой х=a. Находим 2-ую производную ф-ции для исследования её на точке перегиба 
 

А при переходе через эти точки он меняет знак. В обеих этих точках значение ф-ции равно    следовательно (a-G;) и (a+G;) явл-ся точками перегиба

При а=0 и G=0 
 
 
 
 
 

Изменение величины матем.ожидания, т.е величины параметра а дифферен.ф-ции нормал.распределения не меняет формы, а приводит её к сдвигу вдоль оси абцисс. При увеличении а сдвиг вправо, при уменьшении а сдвиг влево 

 
 
 
 
 

При возрастании  G максимальная ордината нормал.кривой убывает, а сама кривая становиться более пологой, те.е сжимается к оси ОХ. При уменьшении нормал.кривая становиться более островершинной и растягивается.

 
 
 
 
 

Площадь фигуры ограниченной нормал.кривой и осью ОХ при любых значениях параметров а и G будет равно 1.