Шпаргалка по "Маркетингу"

8)Последовательные  независимые испытания.  Схема Бернули.

Для вычисления вероятности: Pn(m) необходимо учесть что число различных произведений содержат:m-элементов, которые можно составить из n-элементов =числу сочетаний из n по m

Применяя m сложения вероятностей попарно несовместных событий получим формулу Бернули

Pn(m)=n!/m!(n-m)! 

13. Биноминальное распределение

Случайный эксперимент  состоит в том, что осуществляется n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, причем вероят-ть наступления события А во всех испытаниях постоянна и равна р. Вероят-ть не наступления события А или наступления противоположно событию : q=1- p.

В качестве дискретной случайной величины будем рассматривать  число появлений события А в этих испытаниях. Необходиммо найти закон распределения дискретной СВ. События А в испытаниях может либо не наступить, либо наступить 1 раз, 2 раза или n раз. Таким образом возможное значение х может записываться так

х₁=0

х₂=1

х₃=2

……..

х_n+1=n

Вероят-ть можно найти с помощью формулы Бернулли

  , где n=1,2,…,n и m=1,2,…,m

Данная формула  считается аналитическим выражением закона распределения дискретной СВ Х. Ф-ция распределения вероят-тей рассматриваемой СВ:

Распределение степени вероят-ти, которая определяется формулой Бернулли, называется биноминальным распределением. Биноминальный закон записывается так:

 

14. Распределение Пуассона. Для задач,в кот.число n независимых испытаний велико,а вероятность p наступления данного события А при каждом отдельном испытании мала,то искомые вероятности P_n(m) того,что в серии из n испытаний событие А наступит m раз могут быть вычислены с практически достаточной степенью точности по осимптотической формуле Пуассона: Эта формула характеризует закон распределения Пуассона.Функция распределения вероятностей этой случайной величины имеет вид: Искомые вероятности можно вычислить с помощью специальных таблиц при известных m и λ. 

15.Простейший  поток событий.  Поток событий – последовательность событий, кот. наступают в случайные заранее неизвестные моменты. Н-р, поступление вызовов на пункт неотложной скорой помощи. К основным св-вам, кот.хар-ют поток событий, относятся свойства стационарности, отсутствие последствий и ординарности. Свойство стационарности потока событий проявляется в том, что вероятность наступления m-событий на любом отрезке времени зависит только от числа m и от длительности его отсчета и не зависит от начала отсчета. При условии, что различные промежутки времени являются непересекающимися. Свойство отсутствия последствия проявляется в том, что вероятность наступления n-событий на любом отрезке времени не зависит от того, наступили или нет события в момент времени, кот. предшествуют началу рассматриваемого временного отрезка. Таким образом, если поток событий обладает свойством отсутствия последствия, то появление какого-либо числа событий в различные непересекающиеся отрезки времени считаются взаимно-независимыми. Свойство ординарности потока событий проявляется в том, что наступление 2-х и более событий за малый отрезок времени практически невозможно, т.е. вероятность наступления более 1-го события за малый отрезок времени, пренебрежимо мало, по сравнению с вероятностью наступления только 1-го события.  Т.о. если поток событий обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый отрезок времени может появиться не более 1-го события. Поток событий, кот. обладает св-вом стационарности, отсутствие последствий и ординарности наз.простейшим или Пуассоновским потоком. Интенсивность потока λ – это среднее число событий, кот. наступает в единицу времени. При заданной постоянной интенсивности потока λ,вероятность появления m-событий простейшего потока за временной отрезок длит.t  можно рассчитать по формуле Пуассона: 

16.Мат.ожидание дискретной случайной величины. М(х) мат.ожидание дискретной случайной величины х, принимает значение х₁,х₂,…,х_n с вероятностями соотв. p₁, p₂,…,p_n наз.сумма произведений всех ее возможных n-значений на их вероятности. 

Математическое  ожидание дискретной случайной величины х явл. неслучайной постоянной величиной. Если число возможных значений дискретной случайной величины конечно, то предполагается, что ряд сходится абсолютно.Пример: случайная величина х задана следующим законом распределения: х   4  6  9

P 0.5 0.3 0.2

Математическое  ожидание числа появления событий  в одном испытании равно вероятности  этого события.

Теорема: математическое ожидание прим.равно среднему арифметическому наблюдаемых значений и случ.величины. 
 
 
 
 
 
 
 
 

17.Свойство  мат.ожидания дискретной случайной величины. 1.Мат.ожидание постоянной величины k=самой постоянной: M(k)=k; 2.Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания:M(kx)=kM(k); 3.Мат.ожидание-произведение нескольких попарно независимых случ.величин=произведению их мат.ожиданий. M(kyz)=M[(xy)z]= M(xy)M(z)=M(x)M(y)M(z)

4.Мат.ожидание-сумма 2-х случайных величин-сумме их мат.ожидания. M(x+y)=M(x)+M(y).Следствие:мат.ожидание суммы нескольких случ.величин. M(x+y+z)=M[(x+y)+z]=M(x+y)+M(z)=M(x)+M(y)+M(z).Следствие:мат.ожидание суммы нескольких случайных величин: M(x+y+z)=M[(x+y)+z]=M(x+y)+M(z)=M(x)+M(y)+M(z). 

18.Дисперсия  дискретной случайной  величины. Понятие дисперсии случ.величины вводится для характеристики отклонения данной величины от ее среднего значения.Для этого рассм.понятие отклонения.Пусть х-случ.величина и М(х)-ее мат.ожидание. Отклонением наз.разность между случ.величиной х и ее мат.ожиданием.Теорема: мат.ожидание отклонения=0; M[x-M(x)]=0. Дисперсией или рассеянием дискретной случ.величины х наз.мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины от ее мат.ожидания. D(x)=M(x-M(x))² . Дисперсия случ.величины также имеет закон распределения.Пусть случ.величина х задана законом распределения      

 

В этом случае дисперсия  распределена по след.закону:

По закону распределения  квадрата отклонения можно непосредственно  рассчитать значение дисперсии 

Теорема: дисперсия равна разности между между мат.ожиданием квадрата случ.величины х и квадратом ее мат.ожидания, т.е. D(x)=M(x)²-(M(x))² .

Пример: случ.величина х задана законом распределения. Х 3      2     9          Найти дисперсию. М(х)=3*0.4+2*0.4+9*0.2=3.8

                                Р 0.4 0.4 0.2           М(х)²  =9*0.4+4*0.4+81*0.2=21.4

D(x)=21,4-(3,8)² =6.96 
 
 

19. Свойство дисперсии  дискретной случайной  величины.

1) Дисперсия  постоянной случ. Величины k=0; D(K)=0;

2) Постоянный  множитель можно выносить за  знак дисперсии возводя его  в квадрат, т.е. D(Kx)=K2 D(x);

3) Дисперсия  суммы двух независимых случайных  величин = сумме дисперсий этих  величин: D(x+y)=D(x)+D(y)

Следствие 1: дисперсия  суммы нескольких попарно независимых  с.в. = сумме дисперсии этих величин;

Следствие 2: дисперсия  суммы постоянной и случайной  величины = дисперсии с.в.: D(k+x)=D(x)

4) Дисперсия  разности двух независимых с.в. = сумме их дисперсий: D(x-y)=D(x)+D(y) 

20. Мат. ожидание  и дисперсия числа  появления событий  в независимых  испытаниях.

Пусть осуществляется n-незав. испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянно и =p. Необходимо определить среднее число появления события А в этих испытаниях.

Теорема: мат.ожидание М(х) числа появления события А в n-незав. испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытание.

M(x)=np

Пусть осуществляется n-незав. испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянно и =p. Необходимо определить дисперсию числа появления события А в этих испытаниях.

Теорема: дисперсия числа наступления события А в n-независимых испытаниях, в каждом их которых появления события постоянно и равно произведению числа испытаний на вероятность наступления и не наступления события в одном испытании.

D(x)=npq. 

21. Среднее квадратичное  отклонение.

Кроме дисперсии  для оценивания, рассеивания возможных  значений случайной величины вокруг ее среднего значения используют показатель среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонение с.в. X называется квадратный корень из ее дисперсии: G(x)=кв.корень из D(x)

Размерность квадратного  отклонения совпадает с размерностью с.в.X.

Свойства: 1) G(K)=0; 2) при умножении случайной величины X на постоянное число k, ее среднее квадратичное отклонение умножается на туже постоянную k.

Теорема: Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа попарно независимых с.в. = кв. корень из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин. 
 

22. Одинаково распределенные  попарно независимые  случайные величины.

Дано n-попарно независимых случайных величин x1,x2,…xn, кот. является одинаково распределенными. Следовательно, данные случайные величины имеют одинаковое мат. ожидание, дисперсию и другие числовые значения. Среднеарифметические с.в. X, рассм. с.в. по следующей формуле: X=x1+x2+…+xn/ n.

Свойства среднеарифметической случайной величины: 1) мат. ожидание среднеарифметической  одинаково  распред. попарно независимой с.в.= мат. ожидании, а каждое их них: M(x)=a;

2) дисперсия  среднеарифметической n-одинаково распределенной попарно независимой с.в. в n-раз меньше дисперсии каждой из величин: D(x)=D(x)/n;

3) среднее квадратичное  отклонение среднего арифметического  n-один. распред. попарно независимых с.в. в кв. корень их n раз меньше средне квадратичного отклонения каждого из этих величин: G(x)=G(x)/кв.корень из n. 

23. Неравенства Чебышева.

Для рассмотрения теорем , носящих общее название закона больших чисел, необходимо знание неравенства Чебышева. Пусть случайная дискретная величина X задана след. законом распределения:

необходимо оценить  вероятность того, что отклонение с.в. от ее мат. ожидания не превышает  по абсолютной величине положительного числа E, в том случае если E достаточно мало, то задачей будет оценивание вероятностей того, что с.в. X примет значение достаточно близкое к своему мат. ожиданию. Поставленная задача решается с помощью неравенства Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее M(x) по абсолютной величине меньше положительного числа E, не менее чем 1-D(x)/E2, т.е. вероятность P( [x-M(x)]меньше E)больше или равно 1- D(x)/E2. 

24. Теорема Чебышева.

Если последовательность попарно независимых с.в. x1,x2,…xn, имеющих дисперсию, ограниченные одной и той же постоянной C, т.е. D(Xi)<_C; i=1,2…n, то как бы нибыло мало положительное число E, вероятность неравенства: