Теория множеств

 (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФАКУЛЬТЕТ №

Кафедра №

 

                                                     

 

 

 

 

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

РЕФЕРАТ

ЗАДАНИЕ ДМ-02-2015

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

 

Студент:                                                                                 ____________

Преподаватель:

___________

 

МоскваŸ2015

 

ЗАДАНИЕ ДМ-02-01-2015

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение.............................................................................................................................................2

История теории множеств..............................................................................................................3

Подмножество...................................................................................................................................4

Пустое и универсальное множество..............................................................................................4

Логические операции над множествами......................................................................................5

Заключение........................................................................................................................................5

Список использованных источников...........................................................................................5

 

 

Введение

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств – совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине 19 века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце 19 – начале 20 века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств.

Теория множеств стала основой многих разделов математики – общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на  современное понимание предмета математики. В первой половине 20 века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.[1]

Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A ,B , C , N , ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b , c , n , ...     Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество всех целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.

Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a А если же данный элемент a не принадлежит множеству А, то пишут а Ï?А.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R.

 

 

История теории множеств

  Рис. 1. Георг Кантор.[2]

 

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870 - 1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные). Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счетность множества рациональных чисел и решает отрицательно вопрос о равномощности множеств целых и вещественных числе (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса.

В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между R и R» (для любого n > 0). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств.

 

 

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств - понятие о пустом множестве и метод трансфенитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон, Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций. В работе 1883 году Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество), а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885 - 1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?» (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности - для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора-Берштейна, изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций. Шредер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895 - 1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств.

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом.

 

Подмножество

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A Ì B. Например, множество всех натуральных чисел N является подмножеством всех действительных чисел R: N Ì R. Из определения непосредственно следует, что A Ì A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A Ì B , а B Ì A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

 

Пустое и универсальное множество

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Æ. Если A есть пустое множество, то пишут: A = Æ. Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что все их углы прямые, диагонали имеют различную длину.

 

Логические операции над множествами

1. Дизъюнкция V: высказывание P V Q (читается: «P или Q») истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний P и Q.
2. Конъюнкция : высказывание P Q (читается: «P Q») истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания P и Q.
3. Отрицание : высказывание P (читается: «не P») истинно тогда и только тогда, когда P ложно.
4. Импликация : высказывание P Q (читается: “если P, то Q “или” P влечет Q”) истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание или оба высказывания ложны.
5. Эквивалентность (или равносильность) : высказывание P Q (читается: «P, если и только если Q») истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания P и  Q либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания P и Q, такие, что истинно P Q, называют логически эквивалентными или равносильными.

 

Заключение

В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории множеств таких как определение множества, конечные и бесконечные множества, обозначения множеств, способы их задания, подмножество. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория множеств является одной из основ таких областей математики как функциональный анализ, топология, общая алгебра и т.д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.

Элементами теории множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника-теории множеств.[4][5]

 

Список использованных источников

1. Справка о теории множеств в Википедии.
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2#mediaviewer/File:Georg_Cantor3.jpg - Георг Кантор.
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2#mediaviewer/File:3D_Cantor_set.jpg
4. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974.

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ ДМ-02-02-2015

(презентация)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ ДМ-02-03-2015

СОДЕРЖАНИЕ

Операции с множествами.............................................................................................................11

Список использованных источников.........................................................................................12

 

 

Операции с множествами

Множества: A, B, C

Универсальное множество (множество всех рассматриваемых элементов): I

Дополнение: A

Собственное подмножество: A ⊂ B

Пустое множество: ∅

Объединение множеств: A ∪ B

Пересечение множеств: A ∩ B

Разность множеств: A \ B

 

• A ⊂ I
• A ⊂ A
• A = B, если A ⊂ B и B ⊂ A
• Пустое множество 
∅ ⊂ A
• Объединение множеств 
C = A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}


 

• Коммутативность операции объединения 
A ∪ B = B ∪ A
• Ассоциативность операции объединения 
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• Пересечение множеств 
C = A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}


 

• Коммутативность операции пересечения 
A ∩ B = B ∩ A
• Ассоциативность операции пересечения 
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• Дистрибутивность 
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Идемпотентность 
A ∩ A = A 
A ∪ A = A
• Пересечение любого множества с пустым множеством 
A ∩ ∅ = ∅
• Объединение любого множества с универсальным множеством 
A ∪ I = I
• Объединение любого множества с пустым множеством 
A ∪ ∅ = A
• Пересечение любого множества с универсальным множеством 
A ∩ I = A
• Дополнение (дополнительное множество) 
A = {x ∈ I | x ∉ A}
• Свойства дополнения 
A ∪ A = I 
A ∩ A = ∅
• Законы де Моргана 
(A ∪ B) = A ∩ B 
(A ∩ B) = A ∪ B
• Разность множеств 
C = B \ A = {x | x ∈ B и x ∉ A}


 

• B \ A = B \ (A ∩ B)
• B \ A = B ∩ A
• Вычитание множества из самого себя 
A \ A = ∅
• A \ B = A если A ∩ B = ∅
• (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)
• A = I \ A
• Прямое (декартово) произведение 
C = A × B = {(x,y) | x ∈ A и y ∈ B}.[1]