Шпаргалка по "Эконометрика"

6) этап оценки  качества модели, в ходе осуществления  которого проверяется достоверность  и адекватность модели, т. е.  определяется, насколько успешно  решены задачи спецификации и  идентификации модели, какова точность  расчётов, полученных на её основе. Построенная модель должна быть  адекватна реальному экономическому  процессу. Если качество модели  является неудовлетворительным, то  происходит возврат ко второму  этапу моделирования; 

9. определение  регрессионной зависимости

Строго регрессионную  зависимость можно определить следующим  образом. Пусть Y, X1,X2,...,Xp — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X1 = x1,X2 = x2,...,Xp = xp определено условное математическое ожидание

y(x1,x2,...,xp) = E(Y | X1 = x1,X2 = x2,...,Xp = xp) (уравнение линейной регрессии в общем виде),

то функция y(x1,x2,...,xp) называется регрессией величины Y по величинам X1,X2,...,Xp, а её график — линией регрессии Y по X1,X2,...,Xp, или уравнением регрессии. 

10. Какие вы знаете  типы эконометрических  моделей

Существуют 3 основных класса моделей, которые применяются  для анализа и прогноза:

1. Модели временных  рядов.

Последовательность  наблюдений какого-либо показателя, упорядоченная  во времени, называется временным рядом.

Под трендом  понимается устойчивое систематическое  изменение процесса в течение  продолжительного времени. Например, неуклонной рост продаж какого-либо продукта в  течение времени, выпуска продукции  и пр.

Во временных  рядах экономических процессов  около тренда могут иметь место  более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический  или близкий к нему характер и  завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. Если же период колебаний составляет несколько лет, говорят о циклических  колебаниях.

В зависимости  от наличия систематических компонент  во временном ряду строятся различные  эконометрические модели:

- модель тренда:   Y(t) = T(t) + ε,

где T(t) – временный тренд, ε – случайная компонентная;

- модель сезонности:  Y(t) = S(t) + ε(t),

где S(t) – периодическая сезонная компонентная;

- модель тренда  и сезонности:

аддитивная модель применяется в том случае, когда  сезонные составляющие относительно постоянны  по всему анализируемому периоду:    Y(t) = T(t) + S(t) + ε(t);

мультипликативная модель используется, когда сезонные составляющие изменяются пропорционально  значениям тренда по всему анализируемому периоду:       Y(t) = T(t)*S(t)* ε(t).

2. Регрессионные  модели с одним уравнением:

Y = f(x₁,x₂,x₃…x_n),

где x₁,x₂,x₃…x_n – объясняющие (независимые) переменные.

В зависимости  от функциональной формы функции f модели бывают линейные, степенные, полиномиальные, а также гиперболические, логарифмические, логистические и т.д.(нелинейные).

Если модель содержит только одну объясняющую переменную, она называется парной регрессией, а если больше, то множественной  регрессией.

3. Системы одновременных  уравнений.

Эти модели описываются  системами уравнений. Системы могут  состоять из тождеств и регрессионных  уравнений, каждое из которых может, кроме независимых факторных  переменных, включать зависимые переменные из других уравнений системы.

Системы одновременных  уравнений наиболее полно описывают  экономический объект, содержащий множество  взаимосвязанных эндогенных (формирующихся  внутри функционирования объекта) и  экзогенных (задаваемых извне) переменных. При этом в качестве эндогенных и  экзогенных могут выступать лаговые (взятые в предыдущий момент времени) переменные. 

11.какими свойствами должна обладать построенная модель

Модель в общем  смысле есть создаваемый с целью  получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме  мысленного образа, описания знаковыми  средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала  произвольной природы, существенные для  задачи, решаемой субъектом.

 Свойства  любой модели таковы:

конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме  того, ресурсы моделирования конечны;

упрощенность: модель отображает только существенные стороны  объекта;

приблизительность: действительность отображается моделью  грубо или приблизительно;

адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;

информативность: модель должна содержать достаточную  информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

Каждая модель характеризуется тремя признаками:

принадлежностью к определённому классу задач (по классам задач)

указанием класса объектов моделирования  (по классам  объектов)

способом реализации (по форме представления и обработки  информации). 

12. назовите  исходные предпосылки построения  регрессионных моделей

  Отметим основные предпосылки регрессионного анализа.

1. В модели возмущение¹ ɛ, (или зависимая переменная y_i)есть величина случайная, а объясняющая переменная Xi — величина неслучайна².
2. Математическое ожидание возмущения ɛi равно нулю:

М(ɛ_i) = 0 

(или математическое  ожидание зависимой переменной  у_i- равно линейной функции регрессии: м(у_i) =β₀+β₁x_i

  3. Дисперсия возмущения ɛ_i (или зависимой переменной y_i) постоянна для любого i: 

D(ɛ_i)=ɕ²

(или D{y_t)=ɕ²) — условие гомоскедастичности или равноизмен-чивости возмущения (зависимой переменной).

4. Возмущения ɛi, и ɛj (или переменные yi и yj) не коррелированы:

M(ɛiɛj)=0 (i≠j)

  5. Возмущение ɛi (или зависимая переменная уi) есть нормально распределенная случайная величина.

  В этом случае модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью

  Для получения  уравнения регрессии достаточно предпосылок 1—4. Требование выполнения предпосылки 5 (т. е. рассмотрение «нормальной регрессии») необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров. 

13. в чем состоит условие гетеро- и гомоскедантичности?

система условий:

1. ε — случайный  вектор; X — неслучайная (детерминированная)  матрица; 

2.М(ε)=0n;

3. ∑ε =M(εε') = Ω,  где Ω — положительно определенная  матрица; 

4. r(Х) =р+1<n,

где р — число  объясняющих переменных; n — число наблюдений.

см. пример 4.2

14. какие существуют критерии для выбора регрессионной модели.

Критерий выбора модели может быть назван внешним, если он получен с помощью дополнительной информации, не содержащейся в данных которые использовались при вычислении параметров моделей. Например, такая  информация содержится в дополнительной, тестовой выборке.  

Алгоритм МГУА использует и внутренний критерий и  внешний. Внутренний критерий используется для настройки параметров модели, внешний критерий используется для  выбора модели оптимальной структуры. Возможен выбор моделей по нескольким внешним критериям.

Критерий регулярности  включает среднеквадратичную ошибку на обучающей подвыборке  полученную при параметрах модели, настроенных  на тестовой подвыборке .

где

и

Другие модификации  критерия регулярности:  

и           

-среднее значение вектора

Критерий  также обозначается   , то есть ошибка на подвыборке , при параметрах, полученных на подвыборке .

 Критерий  минимального смещения 

Иначе критерий непротиворечивости модели: модель которая  имеет на обучающей выборке одну невязку, а на контрольной — другую, называется противоречивой. Этот критерий включает разность между зависимыми переменными модели, вычисленными на двух различных выборках  и . Критерий не включает ошибку модели в явной  форме. Он требует, чтобы оценки коэффициентов  в оптимальной модели, вычисленные  на множествах  и , различались минимально.

Критерий непротиворечивости как критерий минимума смещения имеет  вид 

Другие модификации  этого критерия:

где  и  и — векторы коэффициентов, полученные с использованием подвыборок и . При использовании последнего варианта следует помнить, что число элементов вектора параметров в различных моделях может быть различно.

 Критерий absolutenoise-immune

Утверждается, что  с помощью этого критерия, из сильно зашумленных данных возможно найти  скрытые физические закономерности.

где  — вектор коэффициентов, полученный на всей выборке .  

15.суть метода наименьших квадратов

метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем. Если мы намерены выровнять свои экспериментальные  данные прямой y = ax + b с параметрами  а и b, то оптимально это можно  сделать, найдя минимум функции

min=[(yi-a xi - bi)2].

(Квадратные  скобки означают суммирование.)

 Дальнейшие  расчеты приводят к необходимости  решения системы 2-х уравнений: 

[y]=a[x]+ b n

[xy]=a[x2] + b[x]

где n - число  экспериментальных точек.

 Из этой  системы уравнения следует, что 

a = (n [xy] - [y][x])/(n[x2] - ([x])2)

b = ([y][x2] - [xy][x])/(n[x2] - ([x])2)

Применяя эти  формулы, следует помнить о том, что не всегда их применение может  дать ожидаемый положительный эффект. В том случае, если известно, что  прямая должна непременно иметь свободный  параметр b, то для правильной минимизации  следует использовать следующую  формулу:

  a = ([xy] - b[x])/[x2]

Если прямая должна иметь наклон a, то лучший результат  дает формула 

b = ([y] - a[x])/ n

После того, как  найдены оптимальные значения параметров a и b, интересно знать погрешность, с которой были проведены вычисления. Стандартные отклонения оцениваются  следующим образом:

SA2 = S2 n/(n[x2] - ([x])2)

SB2 = S2[x2]/(n[x2] - ([x])2)

S2 - квадрат стандартного  отклонения равный [(y-ax-b)2]/(n-1) . 

16. функция и метод максимального подобия

Ме́тодмаксима́льногоправдоподо́бия (также метод наибольшего правдоподобия) в математической статистике — это  метод оценивания неизвестного параметра  путём максимизации функции правдоподобия[1]. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции  правдоподобия. Метод максимального  правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован  Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального  правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения  оценки параметров модели.