Применение методов линейного программирования

Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять соотношениям.

                                             

                                              

Разделим все  уравнения и неравенства в (1) и (2) на u (это можно сделать, т.к. по предположению u > 0) и введём обозначения :

      ,            ,

Тогда (1) и (2) перепишется  в виде :

,      ,      ,      ,

,      ,      ,      .

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры uбыла максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  pi   , при которых

,    .                                            

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры uбыла наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  qj,   , при которых

,    .                                           

Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи  линейного программирования (ЛП).

Решив эти задачи, получим значения  pi   ,  qj    и u.Тогда смешанные стратегии, т.е. xi и yj получаются по формулам :

                                                          

Пример. Найти  решение игры, определяемой матрицей.

Решение. При  решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :

                      

Решим вторую из них  

 

 

 

 

 

 

Из оптимальной  симплекс-таблицы следует, что

(q1, q2, q3) = (0; ; 1),

а из соотношений  двойственности следует, что

( p1, p2, p3) = ( ; 1; 0).

Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна

.           ,

а игры с платёжной  матрицей А :

.

При этом оптимальные  стратегии игроков имеют вид:

Х = (х1, х2, х3) = (uр1; uр2; uр3) =  = 

Y = (y1, y2, y3) = (uq1; uq2; uq3) =  =  . 
 

2.2. Решение матричных игр в чистых стратегиях.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая  абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок  имеет  m  стратегий  i = 1,2,...,m, второй имеет  n  стратегий  j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий  (i,j)  поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков  делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i= ), 2 – свою j-ю стратегию (j= ), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму  | аij | ). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия  игрока  i= ;  j =   часто называется чистой стратегией. 
 

Если рассмотреть  матрицу

А = 

  

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей  А  сводится к выбору игроком 1  i-й строки, а игроком 2  j-го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша  аij.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей  А следующим образом: для каждого значения  i  (i = ) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2

аij          (i =  )

т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия  i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

аij =  =                                          (1).

Определение. Число  , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном  своём поведении должен стремится  по возможности за счёт своих стратегий  максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается

аij  ,  т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию,

 затем игрок  2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит

aij =  =                                             (2).

Определение. Число  , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.

Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш  не меньше  , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем  .

Определение. Если в игре с матрицей А   = , то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры

u =  = .

Седловая точка – это пара чистых стратегий  (iо,jо)  соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство    =  . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:

                                     

где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, исходя из (3), седловой элемент     является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент   , называется решением игры. При этом  iо и jо  называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2. 
 

2.3. Решение матричных игр в смешанных стратегиях путём сведения к задаче линейного программирования.

Исследование  в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в  чистых стратегиях. Если матричная  игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если игрок 1 имеет  m  чистых стратегий  1,2,...,m, то его смешанная стратегия  x – это набор чисел  x = (x1, ..., xm) удовлетворяющих соотношениям

xi >= 0     (i = 1,m),      = 1.

Аналогично для  игрока 2, который имеет  n  чистых стратегий, смешанная стратегия  y – это набор чисел

y = (y1, ..., yn),     yj >= 0,   (j = 1,n),      = 1.

Так как каждый раз применение игроком одной  чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я  чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта  i-я  чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

Определение. Средний выигрыш игрока 1 в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

E (A, x, y) = = x A yT                        

 Первый игрок  имеет целью за счёт изменения  своих смешанных стратегий  х  максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, y), а второй – за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А, х, y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие  х  и  y, при которых достигается верхняя цена игры