Математическая  модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Огромный толчок развитию математическому моделированию дало появление ЭВМ, хотя сам метод появился тысячи лет назад.

Понятие «аналитическое» решение и «компьютерное» решение не противостоят друг другу, так как:

Всё чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчётов, но и для  аналитических преобразований.

Результат аналитического исследования часто  выражен в столь сложной форме, что при взгляде на неё не складывается восприятие описываемого ею процесса. Эту формулу можно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, то есть проделать то, что называется визуализацией абстракции.

    2 Симплекс метод решения задач линейного программирования

Симплекс  метод - универсальный метод для  решения линейной системы уравнений  или неравенств и линейного функционала.

     Для привидения системы ограничений  неравенств к каноническому виду, необходимо в системе ограничений  выделить единичный базис.

1. Ограничения вида  «£»- ресурсные ограничения. Справа находится то что мы используем на производстве, слева - то что получаем. При таких ограничения вводят дополнительные переменные с коэффициентом «+1», образующие единичный базис. В целевую функцию эти переменные войдут с коэффициентом «0».
2. Ограничения вида «=». Часто бывает, что несмотря на то что ограничения имеют вид равенства, единичный базис не выделяется или трудно выделяется. В этом случае вводятся искусственные переменные для создания единичного базиса - Yi. В систему ограничений они входят с коэффициентом «1» , а в целевую функцию с коэффициентом «M», стремящимся к бесконечности (при Fmin - «+M», при Fmax - «-M»).
3. Ограничения вида «³» - Плановые ограничения. Дополнительные переменные (X), несущие определенный экономический смысл - перерасход ресурсов или перевыполнение плана, перепроизводство, добавляются с коэффициентом «-1», в целевую функцию - с коэффициентом «0». А искусственные переменные (Y) как в предыдущем случае.

Алгоритм симплекс метода.

(первая  симплекс таблица)

      Пусть система приведена к каноническому  виду.  

     X1+     q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     X2+   q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     X3+  q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     ……………………………………………………………….

     Xm+  qm,m+1 Xm+1 + …. + qm,m+n Xm+n =hm 

     В ней m базисных переменных, k свободных переменных. m+k=n - всего переменных.

Fmin= C1X1+ C2X2+ C3X3+....+ CnXn

     Все hi должны быть больше либо равны нулю, где i=1,2...m. На первом шаге в качестве допустимого решения принимаем все Xj=0 (j=m+1,m+2,...,m+k). При этом все базисные переменные Xi=Hi.

     Для дальнейших рассуждений вычислений будем пользоваться первой симплекс таблицей (таблица 3.1).

     Таблица 1.

       
 
 

     Первый  столбец- коэффициенты в целевой функции при базисных переменных.

     Второй  столбец - базисные переменные.

     Третий  столбец - свободные члены (hi³0).

     Самая верхняя строка - коэффициенты при  целевой функции.

     Вторая  верхняя строка - сами переменные, входящие в целевую функцию и в систему ограничений. 

Основное  поле симплекс метода - система коэффициентов  из уравнения.

      Последняя строка - служит для того, чтобы ответить на вопрос: «оптимален план или нет». 

      Для первой итерации F0= å ci*hi.

     D1, D2, D3,..., Dm - оценки они рассчитываются по формуле:

     D j = å ciqij-cj. 

     Индексная строка позволяет нам судить об оптимальности  плана:

1. При отыскании Fmin в индексной строке должны быть отрицательные и нулевые оценки.
2. При отыскании Fmax в индексной строке должны быть нулевые и положительные оценки.

 

Переход ко второй итерации:

      Для этого отыскиваем ключевой (главный) столбец и ключевую (главную) строку.

      Ключевым  столбцом является тот в котором  находится наибольший положительный  элемент индексной строки при  отыскании Fmin или наименьший отрицательный элемент при отыскании Fmax.

     Ключевой  строкой называется та, в которой  содержится наименьшее положительное  частное от деления элементов  столбца H на соответствующие элементы ключевого столбца.

     На  пересечении строки и столбца  находится разрешающий элемент.

     На этом этапе осуществляется к переходу к последующим итерациям. 

     Переход к итерациям:

1. Выводится базис ключевой строки, уступая место переменной из ключевого столбца со своим коэффициентом.
2. Заполняется строка вновь введенного базиса путем деления соответствующих элементов выделенной строки предыдущей итерации на разрешающий элемент.
3. Если в главной строке содержится нулевой элемент, то столбец, в котором находиться этот элемент переноситься в последующую итерацию без изменения.
4. Если в главном столбце имеется нулевой элемент, то строка, в которой он находиться переноситься без изменения в последующую итерацию.
5. Остальные элементы переносятся по формуле:

                                    

                                   
 

                                  Метод искусственного базиса.

(Вторая  симплекс таблица)

При использовании искусственного базиса необходимо добиваться выхода искусственных  переменных из базиса и введение в него независимых переменных. Для этой цели можно также использовать симплекс метод, причем решение распадается на две фазы:

1. Построение  искусственного базиса и  оптимизация  функции суммы искусственных  переменных, т.е. F0=Y1+Y2+…+Yn = 0  (F®min). Если при этом F0=0, то искусственный базис мы вывели из состава переменных, переходим ко второй фазе – решаем задачу по первой симплекс таблице с действительными переменными. Если же F0¹0, т.е. искусственный базис не выведен из состава переменных – ОЗЛП решений не имеет.
2. Решение преобразованной системы ограничений с заданной целевой функцией и действительными переменными. При этом столбцами искусственных переменных в симплекс методе пренебрегаем.

 

     Замечания:

1. При решении задач на max с искусственным базисом следует переходить к решению на min, меняя лишь только целевую функцию:

Fmax = - Fmin.

2. При решении  ЗЛП с искусственным базисом особое внимание следует обратить на вычисление элементов индексных строк.

     a) Для столбцов X вычисление элементов идет по формулам:

      D j = å qij.

  å yi = y1+y2+…+yR.

  åHi=F0. 

  Примечание: только для строк Y. 

     б) Для столбцов Y работает старая формула:

     D j = å ciqij-cj. 
 
 
 

2. Теоретическая часть

Математические модели

Математическая  модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математические  модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

Этапы компьютерного математического моделирования изображены на рисунке (1). Первый этап —определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:

1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);
2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом)  и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).
4. Построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель — это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений .

Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей  можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.).

Наконец, если исходить из общих задач моделирования  в разных науках безотносительно  к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация: 

● дескриптивные (описательные)  модели;

● оптимизационные модели;

● многокритериальные модели;

● игровые модели.

Рис. (1).Блок схема математического моделирования. 
 
 
 
 

2.1. Элементы теории матричных игр.

СВЕДЕНИЕ  МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ  ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Предположим, что  цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число  с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.