Применение алгоритмов теории игр в экономических системах

       a₃₂ = 0,85×(4×2-4×1,5) – 0,15×(4×6-4×4) = 0,5 тыс. ед.,

       где i=3 – номер технологии первого предприятия, а j=2 – номер технологии второго предприятия.

       Аналогично  вычислим все коэффициенты платёжной  матрицы. В платёжной матрице  стратегии A1 – A3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции предприятием 1, стратегии B1 – B3 – решения о технологиях производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей – разницу прибыли предприятия 1 и предприятия 2. 

       Таблица 6

       Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий  за рынок продукции региона».

 

       В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17, -1,5, 0,4.

       Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3, 0,62, 0,4.

       Нижняя  цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают. Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология  III, которая соответствует стратегиям A3 предприятия 1 и B3 предприятия 2. Стратегии A3 и B3 – чистые оптимальные стратегии в данной задаче.

       Значение  разницы прибыли предприятия 1 и  предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 4).  Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго – 1 д.е (см. таблицу 3). Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции, которую приобретёт у него население.

2. Пример 2. Решение матричной игры  со смешанным расширением

 

       Пример решения матричной игры со смешанным расширением.  Платёжную матрицу игры составим на основе исходных данных задачи, решённой при выполнении занятия 3, заменив лишь значения долей продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношений цен (см. таблицу 7).

       Таблица 7

       Доля  продукции предприятия 1, приобретаемой  населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

 

       Применив  к исходным данным задачи формулу (16) определения разницы прибыли от производства продукции, получим следующую платёжную матрицу  

       Таблица 8

       Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий  за рынок продукции региона».

 

       В данной матрице (см. таблицу 8) нет доминируемых или дублирующих стратегий. Нижняя цена игры равна 0,175, а верхняя цена игры равна 0,24. Нижняя цена игры не равна верхней. Поэтому решения в чистых стратегиях не существует и для каждого из игроков необходимо найти оптимальную смешанную стратегию.

       Решение задачи

       1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты. Для соблюдения условия неотрицательности в задачах линейного программирования прибавим к каждому коэффициенту матрицы модуль минимального отрицательного коэффициента. В данной задаче к каждому коэффициенту матрицы необходимо прибавить число 1,5 – значение модуля наименьшего отрицательного элемента матрицы. Получим платёжную матрицу (см. таблицу 9). 

       Таблица 9

       Платёжная матрица, преобразованная для выполнения условия неотрицательности

 

       2. Опишем задачу линейного программирования  для каждого  игрока в виде системы линейных неравенств:

       Для игрока 1:

       1,67×x1 + 4,5×x2 + 2,25×x3 ³ 1

       2,12×x1 + 0×x2 + 2×x3 ³ 1

       1,74×x1 + 0,7×x2 + 1,675×x3 ³ 1

       x1³ 0; x2³ 0; x3³ 0

       min Z = x1 + x2 + x3

       Для игрока 2:

       1,67×y1 + 2,12×y2 + 1,74×y3 £ 1

       4,5×y1 + 0×y2 + 0,7×y3 £ 1

       2,25×y1 + 2×y2 + 1,675×y3 £ 1

       y1³ 0; y2³ 0; y3³ 0

       max Z = y1 + y2 + y3

       3. Решим обе задачи с использованием Excel: 

       

       Рисунок 2.2 – Поиск решения для первого  игрока. 

       Аналогично для 2 игрока:

       

       Рисунок 2.3 – Поиск решения для 2 игрока

       В результате решения задачи получим  следующие значения целевой функции и переменных: Z = 0,5771, γ * = 1/0,5771 = 1,7328; x1 = 0,5144, x2 = 0, x3 = 0,0626; y1 = 0,0582, y3 = 0,5189.

       4. Для определения значений вероятностей  выбора стратегий игроков 1 и 2 умножим значения  переменных на γ *. P₁ = x1× γ * = 0,8914, p₂ =0,  p₃ = x3× γ * = 0,1083: q₁ = y1× γ * = 0,1008, q₂ = 0, q₃ = y3× γ * = 0,8991.

       5. Определим значение цены игры. Для этого из величины γ * вычтем 1,5 (значение модуля наименьшего отрицательного элемента) γ = 1,7328 - 1,5  = 0,2328.

       Проверим  правильность решения задачи с помощью  программы Tora: 

       

       Рисунок 2.4 – Решение задачи в Tora. 

       Таким образом, в данной игре выиграет предприятие 1 (значение  γ > 0). Для достижения своей оптимальной стратегии (получения максимального математического ожидания гарантированного выигрыша) предприятие 1 должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,8914, а технологию 3 – с вероятностью 0,1083. Предприятие 2, соответственно, должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,1008, а технологию 3 – с вероятностью 0,8991. Значение математического ожидания выигрыша предприятия 1 составит 0,2328 тыс. д.е.

3. Пример 3. Решение статистической игры

 

       Рассмотрим  пример решения статистической игры в экономической задаче.

       Сельскохозяйственное  предприятие производит капусту. Оно  имеет возможность хранить произведённую  капусту в течение всего сезона реализации – с осени до начала лета следующего года. Хозяйство может выбрать одну из трёх стратегических программ реализации капусты в течение сезона реализации:

       A1 - реализовать всю капусту осенью, непосредственно после уборки;

       A2 - заложить часть капусты на хранение и реализовать её в течение осенних и зимних месяцев;

       A3 – заложить всю капусту на хранение и реализовать её в весенние месяцы.

       Сумма затрат на производство, хранение и  реализацию капусты для хозяйства  при выборе им каждой из стратегий  составляет соответственно 20, 30 и 40 тыс. денежных единиц.

       На  региональном рынке капусты может  сложиться одна из следующих трёх ситуаций: