Применение алгоритмов теории игр в экономических системах

       На  основе данной интерпретации разности выигрышей производится определение  наиболее выгодной стратегии по критерию минимаксного риска.

       Для определения оптимальной стратегии  по данному критерию на основе платёжной  матрицы рассчитывается матрица  рисков, каждый коэффициент которой (r_ij) определяется по формуле: r_ij = a_{max j} – a_ij. Матрица рисков дополняется столбцом, содержащим максимальные значения коэффициентов r_ij по каждой из стратегий ЛПР: R_i = max_j r_ij.

       Оптимальной по данному критерию считается та стратегия, в которой значение R_i минимально: W = min R_i.

       Ситуация, в которой оправдано применение критерия Сэвиджа, аналогична ситуации ММ-критерия, однако наиболее существенным в данном случае является учёт степени  воздействия фактора риска на величину выигрыша.

5. Критерий  пессимизма-оптимизма  Гурвица

 

       В практике принятия решений ЛПР руководствуется  не только критериями, связанными с  крайним пессимизмом или учётом максимального риска. Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, ЛПР  может ввести оценочный коэффициент, называемый коэффициентом пессимизма, который находится в интервале [0, 1] и отражает ситуацию, промежуточную между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. Данный коэффициент определяется на основе статистических исследований результатов принятия решений или личного опыта принятия решений в схожих ситуациях.

       Платёжная матрица дополняется столбцом, коэффициенты которого рассчитываются по формуле: 

       W_i = C×min_j a_ij + (1-C) ×max_j a_ij,    (12) 

       где C – коэффициент пессимизма.

       Оптимальной по данному критерию считается стратегия, в которой значение W_i максимально: W = max W_i.

       При С=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается в критерий “азартного игрока”, делающего ставку на то, что «выпадет» наилучший случай.

       Критерий  Гурвица применяется в ситуации, когда :

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;
2. Необходимо считаться с появлением каждого состояния окружающей среды;
3. Реализуется только малое количество решений;
4. Допускается некоторый риск.

6. Критерий  Ходжа-Лемана

 

       Этот  критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий максимального  математического ожидания выигрыша. При определении оптимальной  стратегии по этому критерию вводится параметр достоверности информации о распределении вероятностей состояний окружающей среды, значение которого находится в интервале [0,  1]. Если степень достоверности велика, то доминирует критерий максимального математического ожидания выигрыша, в противном случае – ММ-критерий

       Платёжная матрица дополняется столбцом, коэффициенты которого определяются по формуле: 

        ,      (13) 

       где u – параметр достоверности информации о вероятностях состояний окружающей среды.

       Оптимальной по данному критерию считается та стратегия, в которой значение W_i максимально: W = max W_i.

       Данный  критерий применим в следующем случае:

1. Имеется информация о вероятностях состояний окружающей среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться;
2. Принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
3. При малом числе реализации допускается некоторый риск [17].

 

2. ПРОЕКТНАЯ ЧАСТЬ

 

       Решать  задачи теории игр можно в таких программных средах, как Tora, Per, Excel, LINDO61, LINGO8. Следующие рассматриваемые примеры будут частично решаться в средах Microsoft Excel, Tora.

       MS Excel удобен тем, что он установлен на любом компьютере, всем знаком и прост в применении. А программная система оптимизации Tora является самодостаточной системой в том смысле, что все инструкции и пояснения, необходимые для работы с этой программой, заключены в названиях пунктов меню, командных кнопок, опций и других элементов управления. Tora может работать только с разрешением экрана 800×600 или 1024×768 пикселей.

1. Пример 1. Решение матричной игры в чистых стратегиях

 

       Пример  решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий  за рынок продукции региона 

       Задание:

       Два предприятия производят продукцию  и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

       Каждое  из предприятий имеет возможность  производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий.

       В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно.

       При этом предприятия имеют различные  затраты на производство единицы  продукции (см. таблицу 3). 
 

       Таблица 3

       Затраты на единицу продукции, произведенной  на предприятиях региона (д.е.).

 

       В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию: Y = 6 – 0.5.

       Данные  о спросе на продукцию в зависимости  от цен реализации приведены в  таблице 4. 

       Таблица 4

       Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.

       Значения  Долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены (см. таблицу 5). 

       Таблица 5

       Доля  продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

 

       По  условию задачи на рынке региона  действует только 2 предприятия. Поэтому долю продукции второго предприятия, приобретённой населением, в зависимости от соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого предприятия.

       Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену реализации единицы продукции. В задаче необходимо определить:

       1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?

       2. Существуют ли технологии, которые  предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

       3. Сколько продукции будет реализовано  в ситуации равновесия? Какое  предприятие окажется в выигрышном  положении?

       Решение задачи

       1. Определим экономический смысл  коэффициентов выигрышей в платёжной  матрице задачи. Каждое предприятие  стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2  от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1,  а в случае, если она отрицательна – предприятие 2.

       2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей платёжной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

• от цены и себестоимости продукции;
• от количества продукции, приобретаемой населением региона;
• от доли продукции, приобретённой населением у предприятия.

       Таким образом, значения разницы прибыли  предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, необходимо определить по формуле (16): 

       D = p×(S×R1-S×C1) – (1-p) ×(S×R2-S×C2),    (14), 

       где D – значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия 2;

       p - доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

       S – количество продукции, приобретаемой населением региона;

       R1 и R2 - цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и 2;

       C1 и C2 – полная себестоимость единицы продукции, произведённой на предприятиях 1 и 2. 

       Количество  продукции, которое население региона  приобретёт при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (см. таблицу 4). Доля продукции, которую население приобретёт у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 – 0,15 (см. таблицу 5). Вычислим коэффициент платёжной матрицы a₃₂  по формуле (16):