Применение алгоритмов теории игр в экономических системах

       

       Рисунок 1.4 - Игра двух участников с нулевой суммой, не имеющая седловую точку 

       Расширим  понятие стратегии за счет смешанных (или случайных) стратегий. Смешанная стратегия представляет собой вероятностную комбинацию чистых стратегий, т.е. ряд чистых стратегий, взятых в случайном порядке с некоторыми вероятностями.

       Смешанные стратегии игроков 1 и 2 можно указать  с помощью вектора вероятностей:

       

       В теории игр доказано, что любая  парная конечная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в смешанных стратегиях. Таким образом, каждая конечная игра имеет цену - g - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющий условию:

       Решить  игру – найти цену игры и оптимальные стратегии.

       Игра m n, (где m³3, n³3) заданную платежной матрицей А: 

       

       Пусть платежная матрица не содержит седловой точки, т.е. игра решается в смешанных  стратегиях: .

       Применение  игроком 1 оптимальной смешанной стратегии S₁^* гарантирует ему средний выигрыш не меньше цены игры g независимо от поведения игрока 2(g_j ≥ g).

       Игрок 2, применяя оптимальную смешанную  стратегию S₂^*, гарантирует для себя минимальный проигрыш (g_I g).

       Учитывая  данное условие, задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

       1) для игрока 1: 

           (4) 

       2) для игрока 2: 

           (5) 

       Смысл этих систем уравнений  заключается в  следующем: игрок 1 стремится увеличить цену игры (g→max), т.е. он действует так, чтобы его средний выигрыш при использовании его стратегии с вероятностями р_i для любой j-й стратегии игрока 2 был не меньше величины g, которую он стремится увеличить. Игрок 2 стремится уменьшить свой проигрыш (g→min), т.е. он действует так, чтобы его средний проигрыш при использовании его стратегий с вероятностями q_j при любой i-й стратегии игрока 1 не превышал величину g, которую он стремиться уменьшить.

       Разделив  левую и правую часть неравенств (4) и (5) на цену игры g > 0 и обозначив  

            (6) 

       получим уравнения (7) и (8) в следующем виде:

            (7)

        .    (8)

       Из  равенств и выражений (6) следует, что переменные (x_i) и (y_j) удовлетворяют условиям: . Таким образом, цена игры определяется как: .

       Оптимальные стратегии  определяются как: 

       

. 

       Теорема: Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш (или минимальный средний проигрыш), равный цене игры γ, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных (оптимальных смешанных) стратегий [15].

3. Геометрический метод решения игр

 

       Графический метод решения игр выполняется  по шагам:

       1) В системе координат XOY по оси абсцисс (ОХ) откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка Х=0) соответствует стратегии А₁, правый (точка Х=1) – стратегии А₂. Промежуточные точки Х соответствуют некоторым смешанным стратегиям S₁=(p₁, p₂).

       2) По оси ординат (OY) откладываются выигрыши при стратегии А₁. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии А₂.

       Пусть имеется игра с платежной матрицей: .

       Если  игрок 2 применяет стратегию В₁, то выигрыш игрока 1 при использовании чистых стратегий А₁ и А₂ составляет соответственно 0,4 и 0,6. Соединим эти точки прямой В₁В₁.

       Ордината  любой точки отрезка В₁В₁ равна величине выигрыша игрока 1 при принятии им стратегии А₁ и А₂ с соответствующими вероятностями р₁ и р₂.

       Аналогично  прямая В₂В₂ соответствует стратегии игрока 2. Точка пересечения В₁В₁ и В₂В₂ определяет цену игры γ. Ординаты точек В₂В₂ равны среднему стратегий А₁ и А₂  с вероятностями р₁ и р₂.

       Ломаная В₁NB₂ – нижняя граница выигрыша, получаемая игроком 1. В точке N он максимален.

       Таким образом, оптимальная стратегия  первого игрока: S₁^*=(0,375; 0,625); цена игры (максимальный выигрыш) γ =55% [18].

       

       Рисунок 1.5 – Графическая интерпретация решения игры 

7.   Понятие о статистических играх

 

       Принятие  управленческих решений предполагает наличие ситуаций выбора наиболее выгодного  варианта поведения из нескольких имеющихся  вариантов в условиях неопределённости.  Такие задачи могут быть описаны матричными играми особого типа, в которых игрок взаимодействует не со вторым игроком, а с окружающей средой. Объективно окружающая среда не заинтересована в проигрыше игрока. В процессе принятия решения о выборе варианта поведения игрок имеет информацию о том, что окружающая среда может принять одно из нескольких возможных состояний и сталкивается с неопределённостью относительно того конкретного состояния, которое примет окружающая среда в данный момент времени.

       Матричная игра, в которой игрок взаимодействует с окружающей средой, не заинтересованной в его проигрыше, и решает задачу определения наиболее выгодного варианта поведения с учётом неопределённости состояния окружающей среды, называется статистической игрой или «игрой с природой». Игрок в этой игре называется лицом, принимающим решение (ЛПР).

       В общем виде платёжная  матрица статистической игры приведена в таблице 2.  

       Таблица 2

       Общий вид платёжной матрицы статистической игры

        

       В данной игре строки матрицы (A_i ) - стратегии ЛПР, а столбцы матрицы (S_j) – состояния окружающей среды. 

       Критерии  принятия решения

       ЛПР определяет наиболее выгодную стратегию  в зависимости от целевой установки, которую он реализует в процессе решения задачи. Результат решения задачи ЛПР определяет по одному из критериев принятия решения. Для того, чтобы прийти к однозначному и по возможности наиболее выгодному варианту решению, необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом каждой стратегии ЛПР (A_i) приписывается некоторый результат W_i, характеризующий все последствия этого решения. Из массива результатов принятия решений ЛПР выбирает элемент W, который наилучшим образом отражает мотивацию его поведения [17].

1. Критерий  максимального математического  ожидания выигрыша

 

       Критерий  максимального математического  ожидания выигрыша применяется в  тех случаях, когда ЛПР известны вероятности состояний окружающей среды. Платёжная матрица дополняется  столбцом, каждый элемент которого представляет собой значение математического ожидания выигрыша при выборе соответствующей стратегии ЛПР: 

               (9) 

       где p_j –вероятность j-го состояния окружающей среды.

       Оптимальной по данному критерию считается та стратегия ЛПР, при выборе которой значение математического ожидания выигрыша максимально: W = max W_i

       Применение  критерия максимального математического  ожидания выигрыша, таким образом, оправдано, если ситуация, в которой принимается  решение, следующая:

1. ЛПР известны вероятности всех состояний окружающей среды;
2. Минимизация риска проигрыша представляется ЛПР менее существенным фактором принятия решения, чем максимизация среднего выигрыша.

       Необходимость иметь информацию о вероятностях состояний окружающей среды ограничивает область применения данного критерия.

2. Критерий  недостаточного основания  Лапласа

 

       Данный  критерий используется при наличии  неполной информации о вероятностях состояний окружающей среды в  задаче принятия решения. Вероятности  состояний окружающей среды принимаются равными и по каждой стратегии ЛПР в платёжной матрице определяется, таким образом, среднее значение выигрыша: 

        .      (10) 

       Оптимальной по данному критерию считается та стратегия ЛПР, при выборе которой  значение среднего выигрыша максимально: W = max W_i.

       Использование данного критерия оправдано в  следующей ситуации:

1. ЛПР не имеет информации, либо имеет неполную информацию о вероятностях состояний окружающей среды;
2. Вероятности состояний окружающей среды близки по своим значениям;
3. Минимизация риска проигрыша представляется ЛПР менее существенным фактором принятия решения, чем максимизация среднего выигрыша.

3. Максиминный критерий Вальда

 

       Правило выбора решения в соответствии с  максиминным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:

       Платёжная матрица дополняется столбцом, каждый элемент которого представляет собой  минимальное значение выигрыша в  соответствующей стратегии ЛПР: 

       W_i = min_j a_ij.               (11) 

       Оптимальной по данному критерию считается та стратегия ЛПР, при выборе которой минимальное значение выигрыша максимально: W = max W_i.

       Выбранная таким образом стратегия полностью  исключает риск. Это означает, что  принимающий решение не может  столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

       Применение  ММ-критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение  следующая:

1. О возможности появления состояний окружающей среды ничего не известно;
2. Решение реализуется только один раз;
3. Необходимо исключить какой бы то ни было риск.

4. Критерий  минимаксного риска  Сэвиджа

 

       Величина (a_{max j} – a_ij ), где a_{max  j} - максимальный элемент j – го столбца, может быть интерпретирована как дополнительный выигрыш, получаемый в условиях состояния окружающей среды S_j при выборе ЛПР наиболее выгодной стратегии, по сравнению с выигрышем, получаемым ЛПР при выборе в тех же условиях любой другой стратегии. Эта же разность может быть интерпретирована как величина возможного проигрыша при выборе ЛПР I – й стратегии по сравнению с наиболее выгодной стратегией.