Метод анализа иерархий в производственно-экономических и социальных системах

Связь от узла-фактора к узлу-фактору означает, что важность учета второго фактора рассматривается с точки зрения первого фактора.

 

5) Кластер – группа узлов одного уровня, подчиненных некоторому узлу другого уровня –вершине кластера (доминирующему узлу). Кластеры образуются при расстановке связей между узлами, т.е. при расстановке связей происходит формирование кластерной структуры. Важность узлов кластера друг относительно друга оценивается в соответствие с тем, какой узел является вершиной кластера.

Кластер определяется: 1) своей вершиной, 2) названием уровня, 3) списком узлов.

 

6) Система (структура модели, схема ситуации принятия решения) – совокупность всех узлов, сгруппированных по уровням, и всех связей между узлами. С математической точки зрения системы, которыми приходится оперировать в методе анализа иерархий, являются – направленными графами (сетями). Связи образуют пути, ведущие от одних узлов к другим. Все пути так или иначе являются частями основных путей, ведущих от главного критерия рейтингования через факторы к альтернативам, т.е. основные пути, по сути, являются логическими цепочками, ведущими к выбору одной из альтернатив.

Эта система является иерархической (но не является строгой иерархией).

 

Попутно заметим, что даже для простых задач структуры моделей, строящихся с помощью метода анализа иерархий, представляют собой довольно сложные схемы. Однако это свидетельствует лишь о том, что метод позволяет вскрыть реальную сложность задач, которые человеку приходится решать мысленно.

Название системы отражает ее назначение, принадлежность к сфере деятельности, в которой принимается решение.

 

7) Иерархия – система, в которой уровни расположены и пронумерованы так, что: 1) нижний уровень содержит рейтингуемые альтернативы, 2) узлы уровней с большими номерами могут доминировать только над узлами уровней с меньшими номерами. Таким образом, в иерархии связи определяют пути одной направленности - от вершины к альтернативам через промежуточные уровни, которые состоят из узлов-факторов. Система представляет собой строгую иерархию, если допустимы связи только между соседними уровнями от верхнего уровня к нижнему.

 

8) Система с обратными связями. Система имеет обратные связи, если при любом способе нумерации уровней в системе есть узлы, доминирующие и над узлами уровней с большими номерами, и над узлами уровней с меньшими номерами, т .е. система имеет обратные связи, если ни при каких перестановках уровней она не сводится к иерархии. Кроме того, понять различия в структуре иерархии и системы с обратными связями можно, рассматривая пути, образованные связями. Если в системе нет ни одного такого уровня, что по путям, начинающимся в узлах этого уровня, можно попасть в узлы того же уровня, то система является иерархией, т.е. в иерархии любой путь может пересекаться с каждым уровнем лишь однажды. Если в системе имеются такие уровни, что по пути, начинающемуся в одном из узлов этого уровня, можно попасть в один из узлов того же уровня, то система имеет обратные связи. Т.е. в системе с обратными связями обязательно есть пути, пересекающие некоторые уровни хотя бы дважды.

 

Формирование структуры без обратных связей (иерархии) и формирование структуры с обратными связями производятся по определенным правилам.

 

Данные

 

1) Приоритет узла в кластере – положительное число, служащее для количественного выражения важности (веса, значимости, предпочтительности и т.п.) данного узла в кластере относительно остальных узлов кластера в соответствие с критерием, заключенным в вершине кластера. Сумма всех приоритетов узлов кластера равна единице. Поэтому часто приоритеты можно трактовать как вероятности, доли общего ресурса и т.п. в зависимости от рассматриваемого случая.

 

Часто трудно непосредственно определить набор приоритетов (вектор приоритетов) узлов кластера. Тогда используется процедура парных сравнений и метод собственного вектора.

 

2) Пaрные сравнения узлов кластера – оценки (качественные или количественные) отношения приоритета одного узла к приоритету другого, т.е. результаты парных сравнений – это оценки важности (предпочтительности, вероятности и т.п.) каждого узла кластера относительно каждого из других по критерию, заключенному в вершине кластера. Результат парного сравнения – оценка отношения «весов» сравниваемых объектов («веса» объектов численно выражают их предпочтительность, оптимальность, значимость и т.п.). Цель парных сравнений – определение приоритетов узлов кластера. Для того, чтобы уточнить, в каком смысле название вершины кластера является критерием для проведения сравнений используется формулировка критерия для парных сравнений.

Для проведения парных сравнений задаются параметры: шкала сравнений и способ сравнений. При проведении парного сравнения объектов и достаточно установить только один из результатов (оценка отношения «веса» объекта и весу объекта ) или , так как .

 

3) Шкала сравнений – упорядоченный набор градаций (терминов, чисел и т.п.) для выражения результатов парных сравнений. Шкала сравнений позволяет выражать оценки отношений значений приоритетов узлов, поэтому ее деления – безразмерные величины. Шкалы, использующиеся в методе анализа иерархий, являются шкалами отношений. Т.е. если результату сравнения пары объектов ставится в соответствие значение на шкале, то число - оценка отношения «весов» объектов («веса» объектов численно выражают их предпочтительность, оптимальность, значимость и т.п.).

Шкала является количественной, если результаты парных сравнений выражаются непосредственно с помощью чисел.

Шкала является качественной, если результаты парных сравнений выражаются с помощью с градаций-предпочтений. Градациям качественных шкал, использующихся в методе анализа иерархий, соответствуют числа.Т.е. качественные шкалы предоставляют возможность опосредованного оценивания приоритетов через предпочтения. Дискретная шкала имеет конечных набор градаций (при переходе от одной градации к другой значение парного сравнения изменяется скачком).

Дискретной шкале соответствует конечный набор чисел. Дискретные шкалы отличаются по величине наибольшего значения (при количественных сравнениях) или по количеству основных градаций (при качественных сравнениях).

Если число - верхний предел шкалы, то - нижний предел шкалы, т.е. все результаты парных сравнений, выраженные в такой шкале, лежат в пределах от до . Если результату сравнения пары объектов соответствует единица, то значения «весов» объектов оцениваются как равные. Кроме того, для дискретной шкалы - количество градаций для выражения превосходства одного из сравниваемых объектов над другим. При этом дискретная шкала имеет градации . В качестве градаций непрерывной шкалы может использоваться любое из действительных чисел от до .

Непрерывная шкала имеет непрерывный набор градаций (между основными делениями шкалы есть всевозможные промежуточные). Градациям непрерывной шкалы соответствуют числа на отрезке числовой прямой. Непрерывные шкалы отличаются по величине наибольшего значения (при количественных сравнениях) или по количеству основных градаций (при качественных сравнениях). Если «вес» объекта оценивается как превышающий «вес» объекта , результату парного сравнения объектов и соответствует значение на шкале, большее единицы. В противном случае лежит на шкале слева от единицы. В соответствии с этим правилом осуществляется и перевод градаций качественных шкал в числовые значения.

 

4) Способ сравнений определяется набором парных сравнений, необходимых для определения приоритетов узлов кластера. При сравнениях с эталоном (по Стивенсу) выбирается один из узлов кластера, с которым сравниваются все остальные. При проведении классических сравнений (по Саати) каждый узел кластера сравнивается со всеми остальными узлами кластера.

 

5) Сравнения кластеров - процедура оценки важности (приоритетности, силы подчинения) кластеров, имеющих общую вершину.

Кластеры сравниваются друг с другом по критерию, заданному названием их вершины. Для проведения сравнений используется та же методика, что и для сравнений узлов в кластере.

Фактически при сравнении кластеров, подчиненных одному узлу, производится рейтингование уровней по критерию, определяемому этим узлом.

 

6) Матрица сравнений – таблица числовых значений парных сравнений (для узлов кластера или для кластеров, имеющих общую вершину).

 

7) Индекс согласованности – количественная оценка противоречивости результатов сравнений (для системы в целом, для узлов одного кластера или для кластеров, имеющих общую вершину). Следует иметь в виду, что между достоверностью и непротиворечивостью сравнений нет явной связи. Противоречия в сравнениях возникают из-за субъективных ошибок экспертов. Индекс согласованности не зависит от шкал сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс согласованности – положительное число. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности. При использовании способа сравнений с эталоном значение индекса согласованности равно нулю.

 

8) Достоверность результата сравнения – количественной оценка, характеризующая степень неточности (размытости) результата сравнения, связанная с компетентностью эксперта, уровнем доверия к данным и т.п. Достоверность сравнения выражается долей единицы (или в процентах). Нулю соответствуют абсолютно недостоверные сравнения, единице (или 100%) – абсолютно достоверные сравнения. На основе значений достоверности сравнений для кластеров, имеющих общую вершину, и значений достоверности парных сравнений в кластерах определяется достоверность данных в масштабах всей системы.

 

9) Относительная согласованность матрицы сравнений– отношение индекса согласованности к среднестатистическому значению индекса согласованности при случайном выборе коэффициентов матрицы сравнений. Относительная согласованность для системы в целом характеризует взвешенное среднее значение относительной согласованности по всем матрицам сравнений.

Данные можно считать практически непротиворечивыми (достаточно согласованными), если значение относительной согласованности меньше чем 0,1. Это заключение справедливо как для данных кластера, так и для данных в масштабе всей системы.

 

10) Идеальные сравнения – наиболее близкие к имеющимся непротиворечивые результаты сравнений.

Идеальным сравнениям соответствуют нулевой индекс согласованности и, соответственно, нулевое значение относительной согласованности.

Знание идеальных сравнений используется при проведении процедуры согласования для кластеров, позволяющей скорректировать сравнения для уменьшения их противоречивости.

 

11) Наиболее противоречивые сравнения – это результаты нескольких парных сравнений узлов одного кластера или кластеров, имеющих общую вершину, вносящие наибольший вклад в значение относительной согласованности.

 

 

результаты

 

1) Итоговый вектор приоритетов – рейтинг альтернатив.

Каждой альтернативе (каждому возможному решению) ставится в соответствие положительное число – приоритет. Приоритет количественно выражает важность (предпочтительность, вероятность, оптимальность и т.п.) альтернативы в соответствии с главным критерием.

Сумма приоритетов всех альтернатив равна единице. Вследствие этого часто допустимо отождествление приоритетов с вероятностями.

Для поддержки принятия решения в основном с помощью итогового вектора приоритетов производится интерпретация результатов применения метода. Например, принимается решение с наибольшим приоритетом, отвергается решение с наименьшим приоритетом и т.п.

 

2) Вектор приоритетов уровня - рейтинг узлов данного уровня.

Вектор приоритетов уровня вычисляется в предположении, что узлы данного уровня являются альтернативами. Все уровни, кроме тех, что содержат альтернативы и главный критерий рейтингования альтернатив, состоят из факторов, влияющих на итоговый вектор приоритетов. Таким образом, приоритеты узлов-факторов количественно характеризуют важность учета каждого фактора относительно других факторов того же уровня. При вычислении вектора приоритетов уровня рассматриваются только такие пути, образованные связями, которые ведут от вершины к узлам данного уровня.

Приоритет узла в системе – это соответствующая компонента вектора приоритетов уровня, которому принадлежит данный узел.

 

3) Вектор приоритетов кластера – рейтинг узлов кластера.

Вектор приоритетов узлов кластера может задаваться напрямую (без проведения сравнений) или рассчитываться на основе матрицы сравнений.

 

3) Показатели согласованности и достоверности для системы в целом, характеризующие качество данных, использованных для вычисления векторов приоритетов, также являются результатами.

Величины этих показателей позволяют оценить степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархий.

Знание показателей согласованности позволяет решать промежуточную задачу выявления участков проблемы, по которым имеется наиболее противоречивая информация. Решение такой задачи позволяет сделать сбор и корректировку данных более целенаправленными.

 

4) Устойчивость вектора приоритетов – качественная характеристика чувствительности значений приоритетов к малым изменениям данных или структуры модели.

Очевидно, данные, использующиеся для принятия решений, всегда более или менее неточны. Поэтому чем меньше чувствительность значений приоритетов, тем больше обоснованность использования этих приоритетов для поддержки принятия решения.

В зависимости от решаемой задачи определяется понятие «существенное изменение рейтинга» (смена лидера, смена аутсайдера и т.п.). Если при малых изменениях данных или структуры рейтинг изменяется несущественно, то он считается устойчивым.

 

5) Существенные элементы структуры – это узлы или связи между узлами, удаление которых приводит к существенному изменению рейтинга. Очевидно, заранее бывает чрезвычайно сложно определить, какие факторы являются определяющими для принятия решения, а какими можно пренебречь. Часто при принятии решений происходит упрощение ситуации (отбрасывание ряда факторов) или делается попытка учесть максимально возможное количество факторов. Поэтому поиск существенных факторов является важной самостоятельной задачей в процессе подготовки принятия решения.