Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2015 в 20:35, курсовая работа
Целью данной курсовой работы является исследование математических методов используемых в машиностроении.
Задачами данной работы являются изучение и применение:
Закономерностей изменения технического состояния по наработке автомобилей,
Закономерностей случайных процессов изменения технического состояния и
Закономерностей процессов восстановления;
Очевидно, расчётные и экспериментальные значения функции отклика не всегда сходятся. Это различие может определяться неточностью эксперимента (замеров и т.д.), а также неполной адекватностью модели. Эту величину называют невязкой.
Необходимо найти такие коэффициенты регрессии, при которых невязки будут минимальными.
Известно из курса математики, что минимум функции достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по всем неизвестным.
Систему нормальных (в стандартизованном виде) уравнений получают в результате дифференцирования функции и приравнивания к нулю.
Эту систему уравнений записывают через коэффициенты корреляции, используя свойства коэффициентов корреляции и отбрасывая общий множитель.
Оценки коэффициентов уравнения регрессии удобно определять, используя приемы матричной алгебры. Однако до определения оценок значений коэффициентов полагается установить значимость коэффициентов корреляции.
Если в результате проверки какой-либо коэффициент окажется статистически незначимым, его исключают из системы уравнений[2].
Рассмотрим конкретный пример применения изложенных выше методов.
По результатам наблюдений за 29 отремонтированными двигателями ЗиЛ-508 зафиксировано значение наработки в зависимости от трёх факторов:
Требуется составить статистическую математическую модель описывающую зависимость ресурса коренных подшипников от перечисленных факторов.
Выдвигается гипотеза о том, что зависимость ресурса коренных подшипников от факторов описывается с требуемой точностью математической моделью вида.
Выполняется нормирование значений параметра оптимизации и факторов, составлено уравнение регрессии в стандартизованном варианте.
Рассчитываются значения коэффициентов парной корреляции между переменными по зависимостям.
Рассчитываются оценки коэффициентов в уравнении регрессии, представленном выше в стандартизованном виде.С помощью коэффициента детерминации производиться оценка полноты отобранных факторов.
Было определено, что на 68,9% ресурс коренных подшипников определяется рассмотренными тремя факторами, а на 31,5% действуют неучтённые моделью факторы.
Выполнена проверка значимости коэффициентов в полученном уравнении регрессии в натуральном масштабе.
Выше, при исследовании динамики изменения технического состояния автомобиля и его агрегатов в процессе технической эксплуатации (ТЭ), была использована непрерывная форма зависимостей. Это позволяло при исследовании применять классический аппарат математического анализа, основанный на дифференцировании и интегрировании непрерывных функций. При применении практических расчётов, в частности, связанных с планированием и оценкой показателей ТЭ парка автомобилей, может использоваться дискретная форма представления показателей. При этом в большинстве случаев применение для анализа классических математических методов, связанных с дифференцированием и интегрированием, оказывается невозможным. В таких ситуациях требуется другой математический аппарат, позволяющий проводит исследования для функций, имеющих дискретный вид.
Отметим, что непрерывную функцию всегда можно представить в дискретном виде. Однако такое представление неизбежно влечёт появление определённой погрешности.
При переходе от непрерывной к дискретной форме представления показателей несколько меняется их физическая интерпретация. Это объясняется тем, что при дискретной форме представления показатели вычисляются лишь в отдельно взятых дискретных точках, а на непрерывной шкале времени. В связи с этим здесь и дальнейшем под выражением kти(t) будем понимать коэффициент технического использования автомобиля возраста t в период [t; t +1]. Отметим, что такая интерпретация kти (t) полностью соответствует действительности, поскольку коэффициент технического использования автомобиля, по определению, является не статическим, а динамическим понятием, и имеет смысл не для отдельного взятого момента t, а лишь для некоторого (любого) диапазона времени ∆t.
Отмеченное выше обстоятельство означает, что использование приведённого в этом параграфе математического аппарата для оценки изменения основных показателей ТЭ автомобилей возможно не при любом произвольном, а лишь при специально выбранном шаге дискретности. А именно:
При выборе шага дискретности необходимо учитывать следующие соображения:
Однако при планировании на длительный период, а тем более при прогнозировании на более длительную перспективу такая единица измерения времени должна быть соответствующей. В таких случаях t следует укрупнять. Как уже отмечалось, увеличение шага дискретности влечёт за собой изменение отдельных параметров и, следовательно, всех остальных показателей. При этом обнаруживается устойчивая тенденция в сторону уменьшения значений коэффициентов и . Иначе говоря, чем больше выбран шаг дискретности, тем больше погрешность в значениях этих коэффициентов при использовании дискретных формул по сравнению с вычислениями при использовании непрерывных формул.
По аналогии с величиной пробега и коэффициентом технического использования автомобиля дискретной функцией можно описывать затраты на его ТО и ТР.
Этот важный показатель ТЭ автомобиля относится к группе показателей, которые экспоненциально возрастают по времени работы автомобиля.
Таким образом, в практических расчётах в АТП может использоваться дискретная форма представления показателей в тех случаях, когда применение для анализа классических математических методов, связанных с дифференцированием и интегрированием, оказывается невозможным[1].
Одним из разделов теории вероятностей, получившие большое развитие и практическое применение, является теория массового обслуживания (ТМО). Она направлена на решение задач организации и планирования процессов, в которых с одной стороны, постоянно в случайные (или не в случайные), промежутки времени возникает требование выполнения каких-либо работ (услуг), а с другой – происходит постоянное удовлетворение этих требований, то есть выполнения работ. При этом время, необходимое для выполнения каждого такого требования, может быть случайной величиной.
Объектом изучения ТМО является ситуация, когда имеется необходимость в обслуживании большого количества однородных требований, которое может быть обеспечено одним и тем же средством.
Требование – это запрос на удовлетворение какой-либо потребности со стороны различных объектов.
Удовлетворение этой потребности называется обслуживанием. Средства, которые осуществляют обслуживание, называются обслуживающими аппаратами или устройствами.
Совокупность однородных обслуживающих аппаратов, способных удовлетворить одинаковые требования, называется обслуживающей системой.
Целью изучения всех процессов массового обслуживания является обеспечение эффективной работы, которая в каждом случае имеет свой конкретный смысл. Она должна определяться не качественно, а количественно, т.е. определенным числом, что требует математического представления каждого процесса массового обслуживания.
В теории массового обслуживания, как правило, рассматривают простейший поток требований, т.е. обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.
Стационарность потока состоит в том, что вероятность поступления определенного количество требований в течение определенного промежутка времени зависит только от длины этого промежутка. Например, если определяется количество заявок на текущий ремонт, то неважно с 5-го или 10-го числа начато такое изучение, а важно, что за 10 дней заявок всегда будет больше, чем за 5.
Ординарным потоком является тот, при котором невозможно или почти невозможно одновременное появление двух или более требований. Практически это всегда имеет место.
Отсутствие последствия состоит в том, что поступление в данный момент требований не зависит от того, когда и сколько требований поступило до этого момента.
Если имеется простейший поток требований, то их число за промежуток времени (0, t) распределяется по закону Пауссона:
,
где - вероятность поступления k требований за время (0, t); - параметр потока, т.е. среднее число требований за единицу времени.
Формальное описание процессов в виде СМО широко применяется в самых различных областях науки и практики, в том числе на всех этапах машиностроительного производства.
Для описания структурной схемы СМО можно рассмотреть работу некоторого склада, в котором есть несколько (S) разгрузочных терминалов (пусть S=10). Используя теорию массового обслуживания, можно сказать, что имеется СМО с S каналами обслуживания. Длительность обслуживания транспортных средств (длительность разгрузки) в зависимости от типа средства и его груза колеблется от 1-го до 2-ух часов. Когда все терминалы заняты, то прибывший транспорт становиться в очередь на разгрузку. Каждое транспортное средство имеет график прибытия, но из-за тяжёлой обстановки на дорогах (непредвиденные обстоятельства) этот график, обычно нарушается. Поэтому считается, что прибытие транспорта является случайным событием с какими-то значениями математического ожидания и дисперсии.
В случае, когда весь транспорт одинаков (с точки зрения приоритетности обслуживания) считают, что в СМО поступает однородный поток заявок, то есть все заявки на разгрузку равноценны, но часто возникают и некоторые неоднородности. Например, в случае поступления скоропортящегося груза заявки на обслуживание присваивается некоторый приоритет (пришедший последним обслуживается первым). Простейшая схема СМО изображена на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 - Структура простейшей СМО
В общем случае интервалы между поступающими заявками неодинаковы: это случайные величины вероятностным законом распределения входного потока. Заявки, вставшие в очередь, ожидают начала обслуживания в соответствии с дисциплиной очереди «дисциплиной обслуживания». Они могут быть различными:
Обслуживающие устройства (приборы, каналы) производят обслуживание своей заявки (поступившей на вход) в соответствии с заданным детерминированным или случайным законом распределения. Обслуженная заявка поступает в выходной поток, который отличается от входного и зависит от дисциплин очереди и обслуживания.
Характерная особенность СМО – все явления описываются с помощью событий, появляющихся в те или иные моменты времени. На временной оси входной поток заявок отмечается как последовательность событий, выборка заявок и очереди или окончания обслуживания это тоже событие в соответствующие моменты времени. Важным обстоятельством здесь является абстрагирование от всех прочих несущественных свойств реальной системы, не вписывающихся в схему последовательности событий.
В ряде случаев могут быть СМО как с ограниченным так и с неограниченым числом аппаратов обслуживания. Иногда в СМО необходимо учитывать приоритетность обслуживания определенных требований. Тогда эта система относится к типу систем с приоритетами.
Таким образом, встаёт вопрос о классификации СМО. Можно использовать большое разнообразие моделей СМО и подходов к их классификации. Первоначально модели разделяют на марковские и не марковские. Это направление связано с классом некоторых марковских случайных процессов. Модели СМО, в которых протекают именно марковские случайные процессы, описываются системой дифференциальных уравнений или в предельном случае, системой линейных алгебраических уравнений.