Математические методы в машиностроении

При использовании этого метода, прежде всего, отбираются эксперты, и разрабатывается анкета, в которой формулируются вопросы к ним.

• специальной литературе даются рекомендации по отбору экспериментов и составлению анкет.

Результаты заполнения анкет подвергаются математической обработке. Главная цель этой обработки выявить факторы, которые можно исключить из последующего эксперимента или остановить их при эксперименте в качестве контролируемых (то есть при закреплённых, постоянных значениях). Кроме того задачами математической обработки материалов анкет является:

• оценка согласованности мнений специалистов;
• оценка неслучайного характера совпадения мнений специалистов (значимости коэффициентов конкордации);
• построение диаграммы рангов факторов.

 

Оценка согласованности мнений экспертов относительно степени влияния факторов на параметр оптимизации производиться с помощью коэффициента конкордации W.

Этот коэффициент может иметь значение от «0» до «1». Равенство «1» означает, что все эксперты дали одинаковые оценки. Равенство «0» - означает что связи между оценками, полученными от разных экспертов не существует.

Проверка значимости коэффициентов конкордации производится помощью распределения χ2.

Значение χ 2 рассчитывается и сравнивается с табличным. Гипотеза о наличии согласия экспертов (неслучайном характере их мнений) может быть принята, если табличное значение χ2 меньше расчётного ( ).

Если согласованность и неслучайный характер совпадений мнений экспертов в результате указанных проверок подтверждается, то строится диаграмма рангов.

При построении диаграммы рангов по оси абсцисс откладываются факторы в последовательности соответствующей степени убывания их влияния на параметр оптимизации (то есть значимый фактор слева). По оси ординат откладываются сумы рангов.

Как уже говорилось, чем меньше сумма рангов, тем весомее фактор. Поэтому по шкале оси ординат цифры, обозначающие суммы рангов убывают от начала координат (чем меньше сумма рангов у фактора, тем выше он расположен по диаграмме).

После построения диаграммы надо оценить её внешний вид. Если распределение влияния факторов на параметр оптимизации соответствует закону неравномерного экспоненциального убывания наименее весомые факторы можно исключить из последующих экспериментов. Если распределение влияния факторов равномерное в эксперимент необходимо включать все факторы.

 

 

2.4.2 Экспериментальное отсеивание факторов

 

Как методика планирования, так и обработки результатов предварительного – отсеивающего эксперимента существенно отличаются от основного ПФЭ.

Существуют разные методы планирования предварительного отсеивающего эксперимента. Наиболее распространены методы планирования предварительного эксперимента, планы которых составлены с использованием метода «случайного баланса».

Например, сначала составляется матрица планирования ПФЭ (N=PK), но фактически проводятся не все эксперименты, предусмотренные в матрице, а только часть из них (обычно 8…16), соответствующая определённым номерам опытов («Вектор-строк»). Номера строк, а соответственно условия выполнения опытов определяются с помощью таблиц случайных чисел, в руководствах по математической статистике.

Из таблицы случайных чисел в её произвольном месте выписываются цифры в количестве равном намеченному числу предварительных опытов. При значении цифр, не превышающем N для соответствующего ПФЭ. Числа таблицы, превышающие N, не учитывается.

Очерёдность экспериментов соответствует очерёдности расположения учитываемых чисел в столбцах таблицы. При построении матрицы планирования предварительных экспериментов используются и другие методы. Принцип случайности при построении планов экспериментов называется «рандомизацией». Термин происходит от английского слова random – случайный. Этот принцип рекомендуется использовать при определении как, содержания так и последовательности выполнения опытов, что позволяет исключить, или уменьшить влияние систематических ошибок, вызываемых внешними условиями. При определении последовательности опытов также используются таблицы случайных чисел, причём, не только предварительных, но и при основных экспериментов.

Отсеивание выполняется следующим образом:

1) С целью отсеивания, после проведения предварительных экспериментов, для каждого фактора строят графики рассеивания полученных значений параметра оптимизации для каждого уровня факторов.

2. Определяют центр распределения (медианное значение) параметра оптимизации для каждого уровня. Обозначают на диаграмме расстояние между соответствующими медианам при верхнем и нижнем значениях уровней факторов. Чем больше смещение медиан и величина построенного отрезка, тем существеннее фактор, значимее его влияние на параметр оптимизации.
3. Построив указанные диаграммы для всех факторов, визуально по величине наибольших смещений медиан выделяют, с целью их включения в основной эксперимент, два первых наиболее значимых фактора.
4. Статистическими методами производят количественную оценку выделенных факторов и проверку их значимости.
5. Затем, исключив влияние выделенных факторов (их эффекты) на параметр оптимизации, вновь строят гистограммы рассеивания. Аналогично сказанному определяют следующие по значимости факторы и так далее.
6. Момент прекращения отсеивания значения факторов (их эффектов) определяется обычно по критерию Фишера.

На основании обработки результатов предварительных экспериментов выбирают (корректируют) математическую модель и строят диаграмму влияния на параметр оптимизации эффектов-векторов в координатах: факторы (и их взаимодействия) и величина эффекта.

Если диаграмма покажет, что распределение эффектов факторов является неравномерным с быстрым убыванием экспоненциального типа, то наиболее весомы факторы отбираются для включения в последующий основной эксперимент и включаются в математическую модель; незначимые факторы относятся к «шумовому» полю, то есть используют при эксперименте при постоянных значениях.

 

3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  МЕТОДОВ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИВНОГО  АНАЛИЗА. ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ФОРМ ЗАВИСИМОСТЕЙ

 

 

3.1 Использование методов корреляционного  и регрессивного анализа при  проведении пассивного эксперимента

 

3.1.1 Общие понятия о пассивном эксперименте, корреляционном и регрессивном анализе

 

На практике часто имеет место ситуация исследователь не может оказывать влияние на состояние объекта исследования, значение параметра оптимизации, управлять изменением факторов. У него, однако, имеется возможность сбора, обобщения и анализа статистических данных. Исследования указанного характера принято относить к категории пассивных исследований или пассивного эксперимента.

В результате анализа и обработки статистических данных, собранных в пассивном эксперименте, с целью их практического применения для предсказания (прогнозирования) поведения подобных объёктов в аналогичных условиях составляют статистические математические модели: при этом используются методы корреляционного и регрессивного анализов.

Методы корреляционного и регрессивного анализов позволяют устанавливать вероятностные (стохастические) связи между зависимой «y» и независимыми «x» величинами. Отличие между указанными методами заключается в следующем.

 

 

 

 

Корреляционный анализ позволяет устанавливать связи случайной зависимой и случайной независимыми переменными.

При регрессивном анализе изучаются связи случайной зависимой и неслучайной независимыми переменными.

Что касается методики составления, обработки и анализа статистических математических моделей, то они в принципе аналогичны.

Условием правомерности корреляционного и регрессивного анализов является возможность описания исследуемых величин нормальным законом распределения.

Наибольшее применение в области исследований, относящейся к эксплуатации и ремонту автомобилей, имеет регрессивный анализ. Как было сказано, особенностью этого метода является то, что независимые переменные, то есть факторы здесь неслучайные величины. Практически означает, что в реальных процессах факторы изменяются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой определения параметра оптимизации. Другими условиями правомерности регрессивного анализа являются некоррелированность факторов друг с другом и однородность дисперсии параметра оптимизации при повторных опытах.

Задачей регрессивного и корреляционного анализа является установление тесноты корреляционных связей между зависимой и независимыми переменными. Эта связь может быть линейной и нелинейной. Обычно в исследованиях, связанных с вопросами эксплуатации и ремонта автомобилей стараются связи аппроксимировать линейной зависимостью. Для оценки тесноты связи между переменными чаще всего используют такие показатели как, коэффициенты парной и множественной корреляции, коэффициент детерминации.

Коэффициент корреляции (парной, множественной) обычно обозначается буквами «r» или «R» с индексами соответствующих элементам, связь между которыми исследуется.

 

Этот коэффициент может принимать значение от +1 до –1. В случае если:

• rxy > 0 – имеет место положительная корреляция (то есть возрастание независимой переменной xi увеличивается параметр оптимизации y);
• rxy < 0 – корреляционная взаимосвязь отрицательная (то есть с возрастанием xi значение y уменьшается);

• rxy = 0 – корреляционная связь отсутствует;
• rxy ≥ 0,50…0,70 – наличие ярко выраженной корреляционной связи.

Чем большее численное значение rxy, тем более вероятностная связь приближается к функциональной связи. При линейной функциональной связи коэффициент корреляции rxy= ±1.

 

3.1.2 Обработка статистических данных методами корреляционного и регрессивного анализа

 

При использовании методов корреляционного и регрессивного анализа для обработки результатов пассивного эксперимента (статистических данных) обычно выполняются следующие действия:

1. Выбирается вид статистической  модели. Методика предусматривает  проверку адекватности выбранной  математической модели, обеспечения  требуемой точности выполняемых  с её помощью расчётов.

Статистически обрабатываются собранные данные, то есть вычисляются: среднее арифметическое значение, среднее квадратичное отклонение параметра оптимизации и всех факторов, дисперсия распределения параметра оптимизации, дисперсия распределения всех факторов.

Производиться проверка гипотезы о нормальном распределении значений параметров оптимизации и факторов. При наличии большого статистического материала эту проверку можно произвести стандартным методами (например, по критерию Пирсона). Часто приходиться принимать постулат о нормальном распределении величин из априорных соображений.

2. Производится нормирование значений параметра оптимизации и факторов, после чего уравнение регрессии (математическая модель) приводится к стандартному виду. Нормирование – приравнивание среднего значения к нулю, а среднего квадратичного отклонения к единице. В стандартизованном масштабе началом отсчёта для параметра оптимизации и каждого фактора принято его среднее значение, а единицей измерения – величина среднего квадратичного отклонения. Очевидно, что в стандартизованном масштабе все средние значения равны нулю, а дисперсии единице.
4. Рассчитываются значения парной корреляции: между независимыми переменными; между зависимой переменной и независимыми переменными; проверяется значимость коэффициентов.
5. Рассчитываются оценки коэффициентов в уравнении регрессии. Ранее приводились элементарные зависимости для расчета коэффициентов математических моделей при активном эксперименте.
6. Осуществляется переход к уравнению регрессии в натуральном масштабе.
7. Производится оценка коэффициентов по их влиянию на параметр оптимизации, полноты отобранных факторов с помощью коэффициента детерминации. Чем ближе к единице вычисленное значение этого коэффициента, тем в большей степени изменение параметра оптимизации обуславливается отобранными факторами.
8. Производится оценка значимости коэффициентов в полученном уравнении регрессии в натуральном виде. Оценка производится с помощью t-критерия.
9. Если после проверки какой-либо из факторов окажется незначимым его исключают, упрощая тем самым математическую модель. После исключения фактора (факторов) повторяют все расчёты данной методики по соответственно скорректированной модели.
10. Проверяется адекватность выбранной математической модели. Проверка производится с помощью критерия Фишера – F критерия[1].

 

3.1.3 Определение оценок коэффициентов в уравнениях регрессии при пассивном эксперименте методом наименьших квадратов

 

Для определения оценок коэффициентов в статистических уравнениях регрессии строится система уравнений при использовании метода наименьших квадратов.

Рассмотрим принцип использования метода наименьших квадратов для определения оценок коэффициентов регрессии сначала применительно к простейшей линейной модели с одним фактором.