Математические методы в машиностроении

 

1.2.4 Логарифмически-нормальный закон распределения

 

Если на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и взаимонезависимых факторов, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния, то возникают условия для логарифмически нормального закона. Эта так называемая модель пропорционального эффекта рассматривает некоторую случайную величину, имеющую начальное состояние x0 и конечное, предельное состояние xn.

Изменение случайной величины происходит таким образом, что

 

                                                                               (13)

 

где εi – интенсивность изменения случайных величин; h(xi-1) – функция реакции, показывающая характер изменения случайной величины.

При h(xi -1) = xi-1 имеем:

 

     (14)

 

 

Таким образом, предельное состояние:

 

                                                                            (15)

 

а его логарифм:

 

                                                                  (16)

 

Согласно центральной предельной теореме ln xn, имеем асимптотически нормальное распределение, как сумма ряда случайных равновеликих и взаимонезависимых величин, а сама величина xn распределена по логарифмически нормальному закону.

В ТЭА этот закон (при v = 0,3…0,5) характерен для описании процессов усталостных разрушений, коррозии, наработки до ослабления крепежных соединений и в ряде других случаев.

 

1.2.5 Экспоненциальный закон распределения

 

Предположим, что в начальный момент x0 = 0 элементы численностью N0 были исправны. При работе происходят отказы этих элементов таким образом, что независимо от проработанного времени x число отказов (ΔN) в небольшом интервале времени x пропорционально числу оставшихся исправных элементов Nx, а непосредственно перед отказом элемент находится в исправном состоянии, то есть:

 

,                                                                                             (17)

 

где λ – положительная постоянная, а знак минус свидетельствует о сокращении Nx при работе.

 

При , имеем

 

                                                                                            (18)

 

                                                                                             (19)

 

После интегрирования , откуда 

 

                                                                          (20)

 

При x0 = 0, C = N0, откуда

 

                                                                          (21)

 

Но , тогда вероятность безотказной работы

 

                                                                               (22)

 

Данное уравнение характеризует вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе распределения ресурса до отказа, а λ – параметр потока отказов (называемый также для экспоненциального распределения интенсивностью отказов), равный обратной величине средней наработки на отказ, т.е. .

Плотность распределения для экспоненциального закона описывается уравнением : 

 

,                                                                              (23) 

 

При этом законе распределения коэффициент вариации v = 1.

Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим (λ), что облегчает расчеты и объясняет широкое его применение на практике. При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега x, называемого временем выполнения задания.

 

1.3 Закономерности процессов восстановления

 

Выше были рассмотрены два вида закономерностей: изменение параметров технического состояния автомобилей по времени или пробегу и вариации параметров технического состояния.

Эти закономерности достаточно точно характеризуют надежность автомобилей, т. е. позволяют оценить среднюю наработку на отказ, вероятность отказа автомобиля при определенном пробеге, ресурс его агрегатов и др.

Для рациональной организации производства необходимо, кроме того, знать:

• сколько автомобилей с отказами данного вида будет поступать в зону ремонта в течение смены (недели, месяца);
• будет ли их количество постоянным или переменным;
• от каких факторов это количество зависит.

 

Взаимосвязи между показателями надежности автомобилей и суммарным потоком отказов для группы автомобилей изучают с помощью закономерностей третьего вида, которые характеризуют процесс восстановления – возникновения, и устранения неисправностей изделий во времени[2].

К важнейшим характеристикам закономерностей третьего вида относятся средняя наработка до k-го отказа, средняя наработка между отказами для автомобилей, коэффициент полноты восстановления ресурса, ведущая функция потока отказов Ω (x) и параметр потока отказов ω(x).

Средняя наработка до k-го отказа определяется по формуле:

 

                      (24)

 

где – средняя наработка до первого отказа; – средняя наработка между первым и вторым отказом; – средняя наработка между вторым и третьим и т.д.

Средняя наработка между отказами для n автомобилей получается из:

- между первым и вторым отказами

 

;                                                                                          (25)

 

Между (k – 1) – м и k – м отказами

 

;                                                                                        (26)

 

Коэффициент полноты восстановления ресурса характеризует возможность сокращения ресурса после ремонта, т.е. качество произведенного ремонта[2].

 

После первого ремонта (между первым и вторым отказами) этот коэффициент:

 

,                                                                                                  (27)

 

после k -го отказа:

 

.                                                                                              (28)

 

При этом 0 ≤ η ≤1.

Сокращение ресурса после первого и последующих ремонтов, которое необходимо учитывать при планировании и организации работ по обеспечению работоспособности, объясняется: частичной заменой только отказавших деталей при значительном сокращении надежности других, особенно сопряженных, использованием в ряде случаев запасных частей и материалов худшего качества, чем при изготовлении автомобиля, низким технологическим уровнем работ.

Ведущая функция потока отказов (функция восстановления) Ω(x) определяет накопленное количество первых и последующих отказов изделия к наработке х.

Поэтому, если вероятное количество отказов, например, к пробегу х1 определяется как Ω(x) = F1(x1), так как при х < х1 возникают только первые отказы, то для момента x2 общее количество отказов определяется суммированием вероятностей первого F1 (x2) и второго F2(x2) отказов. Поэтому Ω(x2) = F1(x2) + F2(x2), а в общем виде

 

                                                                                (29)

 

Параметр потока отказов ω(x) – это плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого изделия, определяемая для данного момента времени или пробега:  

 

,                                                                 (30) 

 

где – плотность вероятности возникновения k-го отказа.

Иными словами, ω(x) – это относительное число отказов, приходящееся на единицу времени или пробега одного изделия. Причем при оценке надежности изделия число отказов, обычно относят к пробегу, а при оценке потока отказов, поступающих для устранения, – ко времени работы соответствующих производственных подразделений.

В общем случае параметр потока отказов непостоянен во времени, то есть . Наблюдаются три основных случая поведения параметра по наработке (времени).

Первый случай – полное восстановление ресурса после каждого отказа, то есть:

 

.                                 (31)

 

При этом происходит стабилизация параметра потока отказов на уровне

 

.                                                                                                  (32)

 

Второй случай – неполное, но постоянное восстановление ресурса после первого отказа, т. е. 1 > η1= const. Для этого случая также характерна стабилизация параметра потока отказов, но на более высоком уровне:

 

 

                                                                                  (33)

 

Третий случай – последовательное снижение полноты восстановления ресурса, то есть:             .

 

.                                                      (34)

 

В этом случае и параметр потока отказов непрерывно увеличивается, что приводит к постоянному повышению нагрузки на ремонтные подразделения предприятия[1].

 

2 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

 

 

2.1 Общая методика планирования многофакторного анализа

 

• основе математического моделирования и планирования всегда должна находиться необходимая экспериментальная база. Экспериментальная база – это совокупность наблюдений, эмпирических данных полученных в практической деятельности и имеющая непосредственное отношение к исследуемому процессу или явлению.

Математическое планирование (МП) эксперимента позволяет изучать сложные явления и процессы при значительном количестве факторов в ограниченные строки по результатам ограниченного количества опытов.

При МП эксперимента необходимо сначала выбрать математическую модель (ММ) исследуемого процесса или объекта. Выбрать ММ это значит выбрать вид функции, связывающий параметр оптимизации с факторами. Общий принцип выбора ММ: переход от простого к сложному, то есть выбор сначала простейшей зависимости и проверка обеспечиваемой точности. При недостаточной точности – усложнение модели и опять проверка. Необходимо повторять эту процедуру до тех пор, пока модель не станет адекватна исследуемому процессу. В качестве ММ модели используют полиномы первой, второй и более высокой степеней, уравнения показательного типа. Во всех случаях, когда это возможно, желательно использовать полиномы первой степени, так как чем меньше степень полинома, тем меньше в модели членов и, следовательно, меньше количество необходимых опытов.

 

 

 

 

Вид ММ и количество членов в ней, кроме степени полинома и числа факторов зависит от наличия или отсутствия влияния на параметр оптимизации эффекта взаимодействия факторов. При наличии такого взаимодействия количество членов в полиноме увеличивается. Наличие взаимодействия факторов не противоречит их независимости.

Главное требование к ММ – ММ не должна предсказывать с требуемой точностью направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации.

Представим наиболее распространенные виды ММ.

1. Для случая двух факторов:
• полином первой степени:

 

 y = b0+b1x1+b2x2;                                                                          (35)

 

• полином второй степени:

 

;                     (36)

 

• полином третьей степени:

 

 

                                     (37)

 

• неполная квадратная модель (без членов, содержащих квадрат

факторов):

 

;                                                     (38)

 

 

 

2. Для случая трёх факторов:

- неполная кубическая  модель (без членов, содержащих кубы  факторов)

 

 

;                                                    (39)

 

В случае отсутствия эффекта взаимодействия между факторами ММ упрощаются, так как в них исключаются члены: b12x1x2, b13x1x3, b23x2x3, b123x1x2x3. Указанные виды уравнений, связывающие параметр «y» с факторами х1, х2, х3, - называются уравнениями регрессии. В этих уравнениях: