Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2015 в 20:35, курсовая работа
Целью данной курсовой работы является исследование математических методов используемых в машиностроении.
Задачами данной работы являются изучение и применение:
Закономерностей изменения технического состояния по наработке автомобилей,
Закономерностей случайных процессов изменения технического состояния и
Закономерностей процессов восстановления;
- b0 – свободный член;
- b1, b2, b3 – коэффициенты указывающие на силу влияния факторов на параметр оптимизации;
- b12,b13 и т.д. – коэффициенты, указывающие на силу влияния на параметр оптимизации эффекта парного (тройного) взаимодействия факторов.
Чем больше численная величина коэффициента, тем больше влияние на данный фактор (или взаимодействие факторов) оказывает параметр оптимизации. При знаке «+» это влияние прямое, при знаки «-» обратное.
Сущность метода МП эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для установления достоверной количественной зависимости между факторами и параметрами оптимизации.
Для минимизации числа опытов, при обеспечении достоверности их результатов, рекомендуется проводить активный эксперимент. Особенностью активных экспериментов, является управление уровнями факторов, то есть поддержание их выбранных значений в течение всего эксперимента.
Наибольшее распространение получили полнофакторные планы экспериментов. Полнофакторными называются планы, в которых в которых содержаться все возможные комбинации сочетаний уровней учитываемых факторов. Опыты, производимые по таким планам, полным факторным экспериментом (ПФЭ).
Число опытов в ПФЭ определяется зависимостью:
,
где, р – число уровней, К – количество факторов.
В ПФЭ факторы варьируются обычно на 2-х уровнях, (Р=2). Тогда можно привести следующую зависимость:
Запись условий экспериментов производиться в специальной матрице, в которой значения уровней записывается в кодированном виде.
Матрица планирования ПФЭ типа 2К обладает следующими свойствами: симметричности, нормировки, ортогональности, рототабельности (для линейной модели).
Первое свойство – симметричность относительно центра распределения – формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов (значений уравнений) вектора столбца каждого фактора равна нулю.
Второе свойство – условие нормировки формулируется так: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.
Третье свойство – ортогональность матрицы планирования формулируется следующим образом: сумма почленных произведений любых двух векторов столбцов матрицы равна нулю.
Четвертое свойство – ротатабельность. Это свойство означает, что точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова при всех экспериментах (на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления).
Для того, чтобы конкретизировать принятую математическую модель необходимо определить численные значения входящих в неё коэффициентов.
Это выполняется следующим образом. Свободный член b0 определяется как среднее арифметическое всех полученных экспериментальных значений параметра оптимизации, то есть:
.
Оценка линейных коэффициентов регрессии (b1,b2,b3) производится по зависимости:
.
где bi – значение коэффициента при i-ом факторе, хiu – значение коэффициента в u-ом опыте, yiu – значение параметра оптимизации в u-ом опыте.
Вычислив коэффициенты можно составить уравнение регрессии в кодированном виде и оценить степень влияния каждого фактора на параметр оптимизации. Для получения рабочих зависимостей (то есть используемых для расчётов на производстве, на транспорте) целесообразно в рабочей модели заменить кодированные значения на натуральные. Для этой цели используют зависимость:
.
где xk – кодированный фактор (х1,х2,х3 и т.д), хi – текущее значение фактора при натуральном его выражении, x0 – основной уровень (среднее значение) фактора в натуральном виде, х – интервал варьирования фактора.
Взаимодействия х1х2, х2х3, х1х3 – называют эффектом взаимодействия первого порядка, а взаимодействие х1 х2 х3 – эффектом второго порядка.
Оценки коэффициентов регрессии, характеризующих парное взаимодействие факторов, вычисляют по формуле:
,
где xij – значение i-го фактора в uM опыте; хj – значение j-го фактора в uM опыте; yu – значение параметра оптимизации в uM опыте; N – число опытов.
После определения коэффициентов уравнения регрессии полагается оценить с использованием специальных методов их значимость, то есть необходимую точность (используется критерий Стьюдента, Кохрена, Бартлера и др.)
До сих пор мы говорили о влиянии на параметр оптимизации отдельных факторов и эффекта взаимодействия двух или нескольких факторов. Вместе с тем в полиномах более высоких степеней, например 2-ой степени могут оказаться коэффициенты при квадратах факторах (их кубах и т.д.). Из ПФЭ нельзя извлечь информацию о квадратных числах. Векторы-столбцы для квадратных членов совпадают друг с другом и со столбцом х0 (значение которого всегда +1). Отсюда величина свободного члена «b0» всегда включает вклады квадратичных членов, получается смешанная оценка.
Символически это можно записать как:
,
где b0 – вычисленный коэффициент, β0 – неизвестное истинное значение свободного члена, βij – неизвестное истинное значение квадратичных коэффициентов.
Рассмотренную в предыдущей теме методику можно применять для решения конкретных примеров. В примерах, кроме вычислений коэффициентов и построения уравнений регрессии, необходимо выполнить полагающуюся в таких случаях проверки.
Методика всех трёх проверок аналогична – она заключается в определении расчётных значений соответствующих критериев и сравнении их с численными величинами аналогичных табличных значений.
Проверка производится по критерию Кохрена (G – критерий).
Методика проверки заключается в том, что значение G – критерия определяют двояко: расчётным путём и из таблиц. Затем сравнивают полученные значения: если табличное значение G – критерия окажется больше расчётного однородность дисперсий во всех опытах считается доказанной.
Определяем значимость коэффициентов регрессии с помощью t – критерия (Стьюдента). Для этого определяют:
Для проверки гипотезы адекватности выбранной модели используем F-критерий (Фишера): адекватность удовлетворяется, если табличное значение F-критерия больше расчётного, то есть (Fт > Fр).
Известно, что при математическом планировании эксперимента количество необходимых опытов возрастает с увеличением числа факторов. Далее будут рассмотрены методы сокращения числа используемых в основных экспериментах управляемых факторов.
Минимизация числа опытов достигается при использовании метода дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Матрицу такого плана называют дробной репликой.
Различают дробные реплики регулярные и нерегулярные.
Регулярные дробные реплики получаются из матрицы полного факторного эксперимента делением её на два или на число частей кратное двум в какой-либо степени. Если план полного факторного эксперимента разделить на два, то получится полуреплика, если на четыре – одна четвёртая реплики и т. д. Нерегулярные реплики образуются из матрицы полного факторного эксперимента если берут её часть, например 3/4, 3/8 и т. д. Обычно используют регулярные полные реплики.
Целесообразность применения метода ДФЭ возрастает с ростом факторов, причём по сравнению с ПФЭ метод позволят сократить число опытов в несколько раз.
Метод ДФЭ (дробные реплики) применим по отношению к линейным моделям в тех случаях, когда заведомо известно (например по априорным данным), что приведённые в математической модели члены, отражающие парное взаимодействие несущественны.
При использовании дробных реплик методика планирования эксперимента отличается от ПФЭ тем, что векторы-столбцы в матрицах, относящихся к взаимодействию факторов, которыми можно пренебречь, заменяются новыми факторами.
Ранее приводимая зависимость для определения числа опытов при ПФЭ; при ДФЭ несколько изменится и имеет вид:
,
где N' – необходимое число опытов, р – число уровней факторов (обычно р = 2), k – количество используемых факторов, r – число эффектов взаимодействия, заменённых на эффекты взаимодействия вновь вводимых факторов.
Символическое произведение уравнений вектор-столбцов, равное (+1) или (-1) называется определяющим контрастом. Контраст помогает определить смешанные эффекты.
Для того, чтобы определить какой эффект взаимодействия смешан с эффектом данного фактора нужно обе части определяющего контраста умножить столбец, соответствующий данному фактору.
Соотношение, показывающее с каким эффектом взаимодействия смешан эффект данного фактора, называется генерирующим соотношением.
При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия стремятся выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные (и более высокого порядка) взаимодействия менее важны, чем парные. Выбрать реплику – это значить выбрать эффект взаимодействия (вектор-столбец), который лучше всего заменить новым фактором.
При проведении сложных исследований принципиально новых или малоизученных объектов или процессов во избежание грубых ошибок рекомендуется с начало ввести в рассмотрение максимально возможное число факторов. Однако с увеличением количества факторов, возрастает объём экспериментальных исследований, число необходимых опытов, причём это возрастание происходит по закону показательной функции.
Во избежание чрезмерного усложнения и затягивания эксперимента возникает необходимость анализа и отсеивания несущественных факторов. Отсеивание факторов. Отсеивание факторов производится на основе априорного ранжирования (безопытного) анализа и специального предварительного эксперимента.
Априорный анализ факторов и отсеивание из них менее существенных может, очевидно, производиться путём анализа имеющихся данных и логических выводов на их основе. Однако при этом не исключена опасность субъективность ошибок, которая возрастает с увеличением сложности и малой изученности процессов и явлений. Во избежание этого для априорного анализа целесообразно привлечение нескольких специалистов и использование определённых вариантов методов экспертных оценок. Для технических исследований получил, в частности, довольно широкое применение метод априорного ранжирования факторов.
Сущность метода заключается в ранжировании факторов по определённой системе, соответственно ожидаемой степени влияния на параметр оптимизации, и исключении после этого части факторов с наихудшими рангами из первой серии экспериментов.