Математическая модель движения спутника по орбите

     (17)

Однако надо сказать, что при вычислении орбит планет вначале, исходя из заданного времени, определяется средняя аномалия по равенству (17), а затем уже методом последовательных приближений находится эксцентрическая аномалия по уравнению Кеплера (16). Знание вспомогательной величины дает возможность находить другие необходимые переменные величины на заданный момент времени и таким образом уравнение (16) является важнейшим в решении задач движения тел по орбитам.

По второму закону Кеплера определим площадь, описываемую радиусом-вектором за известный промежуток времени :

      (18)

Определим и расстояние от спутника до второго фокуса эллипса:

                           (19)

Проверим точность найденных углов и по одной из формул Кеплера.

      (20)

или по следующим равенствам:

   (21)

После того, как установлены основные параметры спутника на момент выключения двигателей, необходимо определить его положение на орбите через какой-либо другой промежуток времени, прошедший от исходного момента. Для этого к известному промежутку (за который спутника проходит по орбите от перигея до точки отключения двигателей) прибавим интересующее нас время :

      (22)

По суммарному времени находиться средняя аномалия по (17), а по уравнению Кеплера (16) методом последовательной итерации определяется эксцентрическая аномалия . Именно благодаря трансцендентному уравнению Кеплера (16) можно получать характеристики тела в любой из моментов его движения по эллипсу.

Определим параметры спутника на заданный момент времени:

Угол между радиусом-вектором и направлением движения спутника :

    (23)

угол между радиусом-вектором и направлением на перигей – истинная аномалия :

     (24)

расстояние от центра Земли до спутника:

    (25)

Вычислим скорость спутника в заданный момент времени по одной из формул Кеплера (позже названной интегралом энергии):

      (26)

Наконец по второму закону Кеплера (18) вычислим площадь, описываемую радиус-вектором за суммарный промежуток времени (22).

Однако, если мы намерены вначале задать не промежуток времени , а угол между радиусом-вектором и направлением на перигей и определить параметры спутника, когда он находиться под заданным углом, то вначале по углу определим расстояние от центра масс Земли до спутника:

      (27)

Также по углу находиться и угол между направлением движения спутника в данной точке пространства и радиусом-вектором,

    (28)

затем по интегралу энергии (26) находиться скорость спутника в данной точке.

Иногда можно исключить использование вспомогательных углов и из наших формул, хотя в действительности новые формулы выводятся благодаря уравнению Кеплера (16).

При очень малой скорости по эллипсу, пересекающему поверхность Земли, спутник упадет на Землю. Если двигатели спутника остановлены при скорости, превышающей , то орбита космического аппарата станет параболической и он преодолеет тяготение Земли и перейдет в сферу гравитационного действия Солнца.

1.3 Постановка задачи

Целью данной работы является разработка математической модели движения искусственного спутника по орбите.

Для осуществления этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Получение начальных параметров движения ИСЗ;
2. Предварительная обработка результатов наблюдений с целью отбраковки грубых ошибок и составления нормальных точек;
3. Построение математической модели движения ИСЗ;
4. Построение математической модели изменения координат и скорости ИСЗ;
5. Построение  компьютерной модели движения ИСЗ.

 

1.4 Разработка математической  модели

Введем следующие обозначения: как показано на рисунке 3 Кеплеровы элементы состоят из шести элементов орбиты, которые определяют расположение небесной сущности в задаче двух тел в пространстве:

- a, большая полуось;

- e, эксцентриситет;

- i, наклонение;

- Ω, долгота восходящего узла;

- ω, аргумент перицентра;

- M0, средняя аномалия.

Здесь a и e описывают форму орбиты, i, Ω и ω — определяют ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, а M0 — положение тела на орбите.

Рис. 3 – Элементы орбиты

В соответствии с рисунком 4 большая полуось a является половиной главной оси эллипса |AB| и характеризует максимальное расстояние от небесного тела до центра эллиптической орбиты.

Рис. 4 – Элементы эллипса

 

Эксцентриситет (обозначается «e» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия [12]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

, где b — малая полуось (см. рис.4)

 

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

ε = 0 — окружность;

0 < ε < 1 — эллипс;

ε = 1 — парабола;

1 < ε < ∞ — гипербола;

 ε = ∞ — прямая (вырожденный случай).

Наклонение орбиты (наклон орбиты, наклонность орбиты, наклонение) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

 

Рис. 5 – Объекты на орбите (A - Объект, B - Центральный объект, C - Плоскость отсчёта, D - Плоскость орбиты, i - Наклонение)

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если 0<i<90°, то движение небесного тела называется прямым[13].

Если 90°<i<180°, то движение небесного тела называется обратным.

В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.

Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.

Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.

Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой M.

В звёздной динамике средняя аномалия M вычисляется по следующим формулам:

 

 

    (29)

где:

M0 — средняя аномалия на эпоху t0,

t0 — начальная эпоха,

t — эпоха, на которую производятся вычисления, и

n — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

     (30)

где:

E — это эксцентрическая аномалия (E на рис.6),

e — это эксцентриситет.

 

Рис. 6 – Схема аномалии

1.5 Разработка алгоритма

Для реализации компьютерной модели был разработан алгоритм движения искусственного спутника Земли по орбите (Рис. 7):

1. Начало
2. Создание таймера, где на каждом отсчёте фиксируется точка и линии от фокусов до неё. Задаются значение ширины и высоты рабочей формы, эллипса и Земли. 
3. Выбор типа спутника. В программной реализации будут предоставлены 3 типа спутников (метеорологический, спутник связи, исследовательский).

 

 

 

 

 

 

Да Нет

 

 

 

 

Да Нет

 

 

 

Да  Нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7 - Алгоритм реализации компьютерной модели движения спутника по орбите.

 

4. Вывод графика движения спутника по орбите, где происходит обрисовка движения спутника по таймеру.
5. Конец

1.6 Выбор компьютеров и программного обеспечения

Для реализации программной части математической модели используется Microsoft Visual Studio 2010. Microsoft Visual Studio – это новая разработка компании Microsoft, позволяющая создавать приложения, работающие на платформе .net. Особенность этой платформы заключается в широком наборе сервисов, которые доступны в различных языках программирования. При этом сервисы реализуются в виде промежуточного кода, который не зависит от базовой архитектуры. Едва ли не главной целью создания такой платформы было оснащение разработчиков специальными ориентированными приложениями, которые могли бы работать на любой платформе, начиная от персонального компьютера и заканчивая мобильным устройством.

Microsoft Visual Studio 2010 объединяет в себе огромное количество функций, позволяющих осуществлять разработки для Windows всех версий, в том числе и 8, Интернета, SharePoint, различных мобильных устройств и облачных технологий. В Visual Studio реализуется новая среда разработчика, благодаря которой создавать приложения стало проще. Microsoft Visual Studio - это обновленная и упрощенная программная среда, для которой характерна высокая производительность, причем она не зависит от особенностей оборудования. С помощью расширенных средств моделирования, обнаружения и проектирования можно максимально полно описать систему, которая позволит наиболее удачно реализовать конкретную концепцию архитектуры.

Visual Studio включает в себя  редактор исходного кода с  поддержкой технологии IntelliSense и  возможностью простейшего рефакторинга  кода. Встроенный отладчик может  работать как отладчик уровня  исходного кода, так и как отладчик  машинного уровня. Остальные встраиваемые инструменты включают в себя редактор форм для упрощения создания графического интерфейса приложения, веб-редактор, дизайнер классов и дизайнер схемы базы данных. Visual Studio позволяет создавать и подключать сторонние дополнения (плагины) для расширения функциональности практически на каждом уровне, включая добавление поддержки систем контроля версий исходного кода (как, например, Subversion и Visual SourceSafe), добавление новых наборов инструментов (например, для редактирования и визуального проектирования кода на предметно-ориентированных языках программирования) или инструментов для прочих аспектов процесса разработки программного обеспечения.

Требования к программному обеспечению

Поддерживаемые операционные системы:

Windows 7 с пакетом обновления 1 (SP1);

Windows 8;

Windows 8.1;

Windows Server 2008 R2 с пакетом обновления 1 (SP1);

Windows Server 2012;

Windows Server 2012 R2;

Windows 10.

Требования к оборудованию:

Процессор с частотой 1,6 ГГц или более мощный.

ОЗУ объемом 1 ГБ (1,5 ГБ для работы на виртуальной машине)

4 ГБ доступного пространства  на жестком диске

Жесткий диск с частотой вращения 5 400 об./мин

Видеокарта с поддержкой DirectX 9 и разрешения дисплея 1024x768 или выше.

Дополнительные требования:

Эта версия Visual Studio лучше всего работает с Internet Explorer 10 или более поздней версии. Некоторые функции могут работать непредвиденным образом, если не установлена эта или более поздняя версия.

Для разработки приложений для Магазина Windows и универсальных приложений для Windows:

Windows 8.1 и Windows Phone 8.1, а для  разработки — Windows 8.1 с обновлением  или более поздней версии.

Для разработки приложений Windows Phone 8.0 требуется обновление Windows 8.1 (x64) или более поздней версии.

Для поддержки эмулятора (Windows или Android) требуются выпуски Windows 8.1 (x64) Профессиональная или более поздняя версия либо Windows 10 Профессиональная или Корпоративная (x64). Также требуется процессор, который поддерживает клиент Hyper-V и преобразование адресов второго уровня (SLAT).

Примечание. Для установки в системах Windows 8.1 и Windows Server 2012 R2 требуется обновление 2919355 (также доступное в Центре обновления Windows).