Математическая модель движения спутника по орбите

В первом приближении орбита ИСЗ представляет собой эллипс с фокусом в центре Земли (в частном случае – окружность), сохраняющий неизменное положение в пространстве. Движение по такой орбите называется невозмущённым и соответствует предположениям, что Земля притягивает по закону Ньютона как шар со сферическим распределением плотности и что на спутник действует только сила притяжения Земли.

Такие факторы, как сопротивление земной атмосферы, сжатие Земли, давление солнечного излучения, притяжения Луны и Солнца, являются причиной отклонений от невозмущённого движения. Изучение этих отклонений позволяет получать новые данные о свойствах земной атмосферы, о гравитационном поле Земли. Из-за сопротивления атмосферы ИСЗ, движущиеся по орбитам с перигеем на высоте несколько сот км, постепенно снижаются и, попадая в сравнительно плотные слои атмосферы на высоте 120-130 км и ниже, разрушаются и сгорают; они имеют, таким образом, ограниченный срок существования. Так, например, первый советский ИСЗ находился в момент выхода на орбиту на высоте около 228 км над поверхностью Земли и имел горизонтальную скорость 7,97 км/сек. Большая полуось его эллиптической орбиты (т. е. среднее расстояние от центра Земли) составляла около 6950 км, период обращения 96,17 мин, а наименее и наиболее удалённые точки орбиты (перигей и апогей) располагались на высотах около 228 и 947 км соответственно. Спутник существовал до 4 января 1958, когда он, вследствие возмущений его орбиты, вошёл в плотные слои атмосферы.

Орбита, на которую выводится ИСЗ сразу после участка разгона ракеты-носителя, бывает иногда лишь промежуточной. В этом случае на борту ИСЗ имеются реактивные двигатели, которые включаются в определённые моменты на короткое время по команде с Земли, сообщая ИСЗ дополнительную скорость. В результате ИСЗ переходит на другую орбиту. Автоматические межпланетные станции выводятся обычно сначала на орбиту спутника Земли, а затем переводятся непосредственно на траекторию полёта к Луне или планетам.

Контроль движения ИСЗ и вторичных орбитальных объектов осуществляется путём наблюдений их со специальных наземных станций. По результатам таких наблюдений уточняются элементы орбит спутников и вычисляются эфемериды для предстоящих наблюдений, в том числе и для решения различных научных и прикладных задач. По используемой аппаратуре наблюдения ИСЗ разделяются на оптические, радиотехнические, лазерные; по их конечной цели – на позиционные (определение направлений на ИСЗ) и дальномерные наблюдения, измерения угловой и пространственной скорости.

Наиболее простыми позиционными наблюдениями являются визуальные (оптические), выполняемые с помощью визуальных оптических инструментов и позволяющие определять небесные координаты ИСЗ с точностью до нескольких минут дуги. Для решения научных задач ведутся фотографические наблюдения с помощью спутниковых фотокамер, обеспечивающих точность определений до 1-2 по положению и 0,001 сек по времени. Оптические наблюдения возможны лишь в том случае, когда ИСЗ освещен солнечными лучами (исключение составляют геодезические спутники, оборудованные импульсными источниками света; они могут наблюдаться и находясь в земной тени), небо над станцией достаточно тёмное и погода благоприятствует наблюдениям. Эти условия значительно ограничивают возможность оптических наблюдений. Менее зависимы от таких условий радиотехнические методы наблюдений ИСЗ, являющиеся основными методами наблюдений спутников в период функционирования установленных на них специальных радиосистем. Такие наблюдения заключаются в приёме и анализе радиосигналов, которые либо генерируются бортовыми радиопередатчиками спутника, либо посылаются с Земли и ретранслируются спутником. Сравнение фаз сигналов, принимаемых на нескольких (минимально трёх) разнесённых антеннах, позволяет определить положение спутника на небесной сфере. Точность таких наблюдений около 3' по положению и около 0,001 сек по времени. Измерение доплеровского смещения частоты (см. Доплера эффект) радиосигналов даёт возможность определить относительную скорость ИСЗ, минимальное расстояние до него при наблюдавшемся прохождении и момент времени, когда спутник был на этом расстоянии; наблюдения, выполняемые одновременно из трёх пунктов, позволяют вычислить угловые скорости спутника.

Дальномерные наблюдения осуществляются путём измерения промежутка времени между посылкой радиосигнала с Земли и приёмом после ретрансляции его бортовым радиоответчиком ИСЗ. Наиболее точные измерения расстояний до ИСЗ обеспечивают лазерные дальномеры (точность до 1-2 м и выше). Для радиотехнических наблюдений пассивных космических объектов используются радиолокационные системы.

Научно-исследовательские ИСЗ. Аппаратура, устанавливаемая на борту ИСЗ, а также наблюдения ИСЗ с наземных станций позволяют проводить разнообразные геофизические, астрономические, геодезические и др. исследования. Орбиты таких ИСЗ разнообразны - от почти круговых на высоте 200-300 км до вытянутых эллиптических с высотой апогея до 500 тыс. км. К научно-исследовательским ИСЗ относятся первые советские спутники, советские ИСЗ серий «Электрон», «Протон», «Космос», американские спутники серий «Авангард», «Эксплорер», «ОГО», «ОСО», «ОАО» (орбитальные геофизические, солнечные, астрономические обсерватории); английский ИСЗ «Ариель», французский ИСЗ «Диадем» и др. Научно-исследовательские ИСЗ составляют около половины всех запущенных ИСЗ [5].

С помощью научных приборов, установленных на ИСЗ, изучаются нейтральный и ионный состав верхней атмосферы, её давление и температура, а также изменения этих параметров. Концентрация электронов в ионосфере и её вариации исследуются как с помощью бортовой аппаратуры, так и по наблюдениям прохождения сквозь ионосферу радиосигналов бортовых радиомаяков. С помощью ионозондов детально изучены структура верхней части ионосферы (выше главного максимума электронной концентрации) и изменения электронной концентрации в зависимости от геомагнитной широты, времени суток и т. п. Все результаты исследований атмосферы, полученные с помощью ИСЗ, являются важным и надёжным экспериментальным материалом для понимания механизмов атмосферных процессов и для решения таких практических вопросов, как прогноз радиосвязи, прогноз состояния верхней атмосферы и т. п.

С помощью ИСЗ обнаружены и исследуются Радиационные пояса Земли. Наряду с космическими зондами ИСЗ позволили исследовать структуру магнитосферы Земли (См. Магнитосфера Земли) и характер её обтекания солнечным ветром, а также характеристики самого солнечного ветра (См. Солнечный ветер) (плотность потока и энергию частиц, величину и характер «вмороженного» магнитного поля) и др. недоступные для наземных наблюдений излучения Солнца - ультрафиолетовое и рентгеновское, что представляет большой интерес с точки зрения понимания солнечно-земных связей. Ценные для научных исследований данные доставляют также и некоторые прикладные ИСЗ. Так, результаты наблюдений, выполняемых на метеорологических ИСЗ, широко используются для различных геофизических исследований.

Результаты наблюдений ИСЗ дают возможность с высокой точностью определять возмущения орбит ИСЗ, изменения плотности верхней атмосферы (в связи с различными проявлениями солнечной активности), законы циркуляции атмосферы, структуру гравитационного поля Земли и др. Специально организуемые позиционные и дальномерные синхронные наблюдения спутников (одновременно с нескольких станций) методами спутниковой геодезии (См. Спутниковая геодезия) позволяют осуществлять геодезическую привязку пунктов, удалённых на тысячи км друг от друга, изучать движение материков и т. п.

Прикладные ИСЗ. К прикладным ИСЗ относят спутники, запускаемые для решения тех или иных технических, хозяйственных, военных задач.

Спутники связи служат для обеспечения телевизионных передач, радиотелефонной, телеграфной и др. видов связи между наземными станциями, расположенными друг от друга на расстояниях до 10-15 тыс. км. Бортовая радиоаппаратура таких ИСЗ принимает сигналы наземных радиостанций, усиливает их и ретранслирует на другие наземные радиостанции. Спутники связи выводятся на высокие орбиты (до 40 тыс. км). К ИСЗ этого типа относятся советский ИСЗ «Молния», американский ИСЗ «Синком», ИСЗ «Интелсат» и др. Спутники связи, выведенные на стационарные орбиты, постоянно находятся над определёнными районами земной поверхности.

Метеорологические спутники предназначены для регулярной передачи на наземные станции телевизионных изображений облачного, снегового и ледового покровов Земли, сведений о тепловом излучении земной поверхности и облаков и т. п. ИСЗ этого типа запускаются на орбиты, близкие к круговым, с высотой от 500-600 км до 1200-1500 км; полоса обзора с них достигает 2-3 тыс. км. К метеорологическим спутникам относятся некоторые советские ИСЗ серии «Космос», спутники «Метеор», американские ИСЗ «Тирос», «ЭССА», «Нимбус». Проводятся эксперименты по глобальным метеорологическим наблюдениям с высот, достигающих 40 тыс. км (советский ИСЗ «Молния-1», американский ИСЗ «АТС») [6].

Исключительно перспективными с точки зрения применения в народном хозяйстве являются спутники для исследования природных ресурсов Земли. Наряду с метеорологическими, океанографическими и гидрологическими наблюдениями такие ИСЗ позволяют получать оперативную информацию, необходимую для геологии, сельского хозяйства, рыбного промысла, лесного хозяйства, контроля загрязнений природной среды. Результаты, полученные с помощью ИСЗ и пилотируемых космических кораблей, с одной стороны, и контрольные измерения с баллонов и самолётов - с другой, показывают перспективность развития этого направления исследований.

Навигационные спутники, функционирование которых поддерживается специальной наземной системой обеспечения, служат для навигации морских кораблей, в том числе подводных. Корабль, принимая радиосигналы и определяя своё положение относительно ИСЗ, координаты которого на орбите в каждый момент известны с высокой точностью, устанавливает своё местоположение. Примером навигационных ИСЗ являются американские спутники «Транзит», «Навсат».

Пилотируемые корабли-спутники. Пилотируемые корабли-спутники и обитаемые орбитальные станции являются наиболее сложными и совершенными ИСЗ. Они, как правило, рассчитаны на решение широкого круга задач, в первую очередь - на проведение комплексных научных исследований, отработку средств космической техники, изучение природных ресурсов Земли и др. Впервые запуск пилотируемого ИСЗ осуществлен 12 апреля 1961: на советском космическом корабле-спутнике «Восток» лётчик-космонавт Ю. А. Гагарин совершил полёт вокруг Земли по орбите с высотой апогея 327 км. 20 февраля 1962 вышел на орбиту первый американский космический корабль с космонавтом Дж. Гленном на борту. Новым шагом в исследовании космического пространства с помощью пилотируемых ИСЗ был полёт советской орбитальной станции «Салют», на которой в июне 1971 экипаж в составе Г. Т. Добровольского, В. Н. Волкова и В. И. Пацаева выполнил широкую программу научно-технических, медико-биологических и др. исследований.

1.2 Определение проблемной системы

Моделирование орбит любых искусственных тел в околоземном пространстве опирается на отыскание частных решений ограниченной задачи трех тел. Для этого применяются разнообразные численные и численно–аналитические алгоритмы. Желание получить новые семейства орбит заставляет нас развивать способы интегрирования этой сложной задачи.

Разработке данных алгоритмов посвящено значительное число статей и монографий, как отечественных, за авторством Е. П. Аксенова [7], Р. Ф. Аппазова [8], В. Н. Гущина [9], Г. Н. Дубошина [10] и др., так и зарубежных, за авторством Р. Баттина [11] и др.

Классические численные алгоритмы хорошо зарекомендовали себя в случае близких к Земле спутников, но в настоящее время растет научный интерес к искусственным телам, расположенным на сильно удаленных орбитах.

Такие объекты в виде космических телескопов и орбитальных зондов все чаще требуются астрофизикам, в связи с изучением солнечного ветра, поиском экзопланет и подобными исследованиями. Проведение этих работ требует значительного удаления автоматических станций от Земли, для минимизации магнитных и гравитационных помех.

Кеплерова орбита спутника. Если спутник выведен на заданное расстояние r от центра (масс) Земли и его двигатели отключены, то в данной точке пространства он приобрел известную нас скорость v, а также направление движения – угол x между направлением движения спутника и радиус-вектором r. Этих данных достаточно, чтобы определить Кеплеров эллипс, по которому спутник будет двигаться вокруг Земли. Здесь мы исходим из положения, что вся масса Земли сосредоточена в ее центре и на спутник не действуют прочие возмущающие массы (Луна, Солнце, планеты).

Используя исходные данные r, v, и x, определим постоянные величины эллипса рис.2.

Большая полуось орбиты:

      (1)

G – Гравитационная постоянная;

 M – Масса Земли;

 GM – геоцентрическая гравитационная постоянная.

Эксцентриситет:

   (2)

 

 

 

 

Рис. 2. Кеплеров эллипс

О – центр; , – фокусы; a, b – большая и малая полуоси; – фокальный параметр; - расстояние от центра до фокуса; П, А,- точки перицентра и апоцентра; А-П – линия апсид; GM – центрическая постоянная; r – радиус – вектор тела m; - расстояние от m до второго фокуса; v – скорость тела m; – средняя скорость; х – угол между радиусом- вектором и касательной; , , – эксцентрическая, средняя и истинная аномалии.

Малая полуось орбиты:

       (3)

Расстояние от центра Земли до центра эллипса:

      (4)

Фокальный параметр эллипса:

                           (5)

Средняя скорость спутника (если бы спутник двигался по кругу с центром в центре эллипса):

      (6)

Расстояние от центра Земли до ближайшей точки эллипса – перигея:

        (7)

Расстояние от центра Земли до наиболее удаленной точки эллипса – апогея:

        (8)

Скорости спутника в перигее:

        (9)

Скорость спутника в апогее:

    (10)

 

Период обращения спутника по эллипсу:

     (11)

Площадь эллипса:

       (12)

Геоцентрическая гравитационная постоянная:

     (13)

( - круговая скорость тел на расстоянии r от центра масс Земли).

Таким образом на основе минимальных данных v, r, x определены постоянные параметры эллипса, являющегося траекторией невозмущенного движения спутника.

Находим переменные величины, характеризующие спутник на орбите в момент отключения двигателей: истинная аномалия (угол между направлением на перигей и радиус-вектором r)

   (14)

Эксцентрическая аномалия :

   (15)

Средняя аномалия:

      (16)

Равенство (16) – это трансцендентное уравнение Кеплера. Средняя аномалия представляет собой угол поворота большой полуоси за некоторый промежуток времени в предложении, что орбита является круговой. А в связи с тем, что вычисления по (16) должны производиться в радианной мере, то, следовательно, это и дуга круга, которую описывает орбитальное тело за данное время. Именно благодаря средней аномалии , всегда пропорциональной времени, находится промежуток времени, необходимый телу при движении от линии апсид до заданной точки эллипса: