Система массового обслуживания

выборочное среднее

                                    [pic]

а в качестве оценки дисперсии - выборочную дисперсию:

                                    [pic]

где n - объём выборки X1={[pic]};

      N - объём вариационного ряда;

      [pic] - частота [pic] в выборке Х1.

Проведём расчёты:

[pic]

[pic]

Найдём отношение:

[pic]((

Результаты   проверки   распределения   входящего   потока   требований   на

соответствие пуассоновскому закону распределения приведены  в приложении   2

. 

    Применение непараметрического критерия А.Н.Колмогорова для проверки

                           статистических гипотез

       Рассмотрим  применение  этого   критерия  для   проверки   гипотез   о

соответствии   теоретического    распределения    случайной    величины    -

эмпирическому,  где  случайная  величина   представлена   выборкой   Х2.   И

продемонстрируем  его   применение   для   анализа   распределения   времени

обслуживания  одного из каналов СМО.

      Пусть нам задана выборка Х2=[pic] случайной  величины  [pic]  ,которая

выражает  длительность  (время)  обслуживания  заявок   одним   из   каналов

исследуемой системы  массового обслуживания. Выборка  Х2 имеет объём n=50.

      Гипотеза Н заключается в   том,  что  случайная  величина  [pic]  имеет

показательное распределение  с параметром [pic], т.е.

                                   [pic],

где [pic] - оценка параметра  показательного  распределения  [pic],  которая

находится как  обратная величина к исправленному  среднему выборочному [pic]:

                              [pic], где [pic],

а [pic] - элемент  выборки  Х2,  выражает  чистое  время  обслуживания  k-той

заявки, поступившей  в систему массового обслуживания.

      Находим оценку параметра [pic] для нашей выборки Х2,

                                    [pic]

                                 [pic][pic]

                                    [pic]

[pic] Дальнейший  этап исследования  заключается   в  построении  эмпирической

функции  распределения  [pic].  Для  этой  цели  построим  по   выборке   Х2

вариационный  ряд  [pic],  где  [pic]  -  строго  упорядоченные,  а  каждому

значению [pic] отвечает соответствующая  ему  частота  [pic],  равная  числу

повторений [pic] в  выборке Х2, причем выполняется тождество:

                                   [pic].

      Тогда эмпирическую функцию распределения  можно записать в виде:

                                 [pic][pic]

      После того, как эмпирическая  функция  распределения  построена,  можно

вычислить разности

                                    [pic]

в точках [pic], и [pic] где [pic] - достаточно малое число, скажем [pic].

      Теперь вычисляем [pic], [pic], [pic] , где

                          [pic]=[pic]{[pic]; [pic]}

       Для   автоматизации   вычислений   значений   [pic],   [pic],   [pic]

использована вычислительная техника, результаты занесены в Приложение 2.

[pic]=[pic]{[pic]; [pic]}

       Далее  проводим  проверку  гипотезы.  По  найденному  значению  [pic]

проверяем  гипотезу   Н,   сравнивая   [pic]   с   величиной   [pic].   Если

[pic][pic][pic],  то  гипотезу  Н о том,  что время обслуживания  заявок

подчинено  показательному  закону  с  параметром  [pic],  можно  считать  не

противоречащей  опытным данным.  Если  же,  [pic][pic][pic],  то  гипотеза  Н

отвергается.

      Квантиль z находим по приближённой формуле:

                                   [pic],

исходя из заданного  уровня значимости [pic].

Получаем для [pic]=0,0005:  z=1,358102.

      В нашем случае

                                 [pic]=[pic]

и, сравнивая полученные величины находим:

0,095922[pic]0,226350                                                   т.е.

[pic][pic][pic].

Выводы: Можно утверждать, что для 0,05% уровня значимости [pic]  гипотеза  Н

о том, что время  обслуживания заявок  имеет  показательное  распределение  с

параметром [pic]=0,034975, не противоречит опытным данным.

      Доказав,  что   входящий   поток   требований    имеет   пуассоновское

распределение   и   время   обслуживания    заявок    имеет    показательное

распределение, мы имеем право приступать к дальнейшему решению  поставленной

задачи. 
 
 

                                   Расчёты 

Средняя интенсивность  поступления заявок на транспортировку:

[pic] =6 заявок в  день, а так как транспортное  агентство работает 10 часов

в день то [pic]  = 0,6 заявок в час.

2. Среднее время  обслуживания заявки.

      [pic]

3. интенсивность  выходящего потока[pic]

3. коэффициент  загрузки системы [pic]

 таким образом  из условия [pic]  принимает min количество автомашин  [pic]

5. находим среднее  время ожидания заявки  [pic]   при количестве

   автомобилей  в агентстве больше 17. [pic]

[pic]

[pic]

5. среднее число  автомашин, свободных от обслуживания

[pic]

6. находим убыток  от простоя автомашин в день

[pic]

7. находим убыток  от не обслуженных на протяжении  дня заявок, из-за

   большего  времени ожидания.  Так как  прибыль от обслуживания одной  заявки

   приносит  доход в 20 грн. то из-за большого  времени ожидания в день

   агентство  будет не дополучать:

[pic]

8. определим суммарный  убыток от простоя автомашин  и от не обслуженных

   заявок. [pic]

 Для определения  оптимального числа автомашин  в агентстве выполняющих

 операции в  течении 10 часов в день нужно  найти. [pic]

 ІІ. Важнейшими  операционными характеристиками  СМО с ожиданием являются:

1. среднее число  свободных устройств [pic]

2. среднее число  занятых устройств   [pic]

3. вероятность  того что все обслуживающие  устройства заняты [pic]

4. вероятность  того что все обслуживающие  устройства свободны   [pic]

5. средняя длинна  очереди  [pic]

6. среднее время  ожидания начала обслуживания: [pic]

7. коэффициент  простоя обслуживающих устройств: [pic]

 ІІІ. Вероятность  заявки каждой из автомашин  в предложении, что все

 автомашины  пронумерованы, а обслуживание  очередной заявки осуществляет

 свободная машина  с наименьшим номером

[pic]

 Результаты расчетов приведены в приложении 2. 
 
 

                                   ВЫВОДЫ 

      В этой курсовой работе раскрыты  понятия приводящие к системе  массового

обслуживания,   а   именно:   обслуживание,   обслуживает   прибор   система

обслуживания, система массового обслуживания.

         Также  описаны  типичные  элементы,  из  которых  состоят   системы

массового  обслуживания   (входящий   поток,   его   описание   и   основные

особенности, очередь  и ее дисциплина, обслуживающие  приборы  и  особенности

механизма обслуживания, входящий поток).

          Что касается практического   задания,  то  рассмотренное   в  данной

задачей транспортное агентство является СМО с ожиданием.  Поступающий  поток

заявок  на  обслуживание  является  простейшим  (Пуассоновским),   а   время

обслуживания  соответствует  показательному закону распределения,  это  было

доказано с помощью  не параметрического критерия А.Н. Колмогорова.

      Оптимальное  число  автомашин   в  агентстве,  выполняющих   операции  в

течении 10 часов в день равно 18.