Система массового обслуживания

сожалению, некоторые  экономисты совершают такую  же  ошибку  и  при  расчете

погрузочных средств  в  карьерах,  числе  приемщиков  на  элеваторах,  числе

причалов в морских  портах и пр.

      Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14) выполнено.

                  5. Некоторые подготовительные результаты.

Для  задачи  с  ожиданием  основной  характеристикой  качества  обслуживания

является   длительность   ожидания    требованием    начала    обслуживания.

Длительность  ожидания  представляет  собой  случайную   величину,   которую

обозначим  буквой  [pic]. Рассмотрим  сейчас  только   задачу   определения

распределения  вероятностей  длительности  ожидания  в  уже   установившемся

процессе обслуживания. Обозначим далее через  [pic]  вероятность  того,  что

длительность ожидания превзойдёт t, и через [pic]  вероятность  неравенства,

указанного в  скобке при условии, что в момент  поступления  требования,  для

которого подсчитывается длительность ожидания, в  очереди  уже  находится  k

требований. В силу формулы полной вероятности имеем  равенство

                     [pic]              (16)

      Прежде  чем  преобразовать   эту   формулу   к   виду,   удобному   для

использования, приготовим некоторые необходимые  для  дальнейшего  сведения.

Прежде всего  для случаев  m=1  и  m=2  найдем  простые  формулы  для  [pic].

Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1

                            [pic]=1-[pic],                          (17)

а при m=2

                            [pic]                  (18)

      Вычислим теперь вероятность  того, что все приборы будут заняты в какой-

то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность  равна

      [pic] (19)

      Эта формула для m=1 принимает  особенно простой вид:

                            [pic]                        (20)

при m=2

                            [pic]                        (21)

      В формуле (19)  [pic]  может   принимать  любое  значение  от  0  до  m

(исключительно). Так  что в формуле (20) [pic]< 1, а в  (21) [pic]<2.

         6. Определение функции распределения  длительности ожидания.

      Если в момент поступления  требования  в  очереди  уже   находились  k-m

требований, то, поскольку  обслуживание  происходит  в  порядке  очередности,

вновь поступившее  требование должно ожидать,  когда  будут  обслужены  k-m+1

требований.  Пусть  [pic]  означает  вероятность того,  что за  промежуток

времени  длительности   t   после   поступления   интересующего   требования

закончилось обслуживание ровно s  требований.  Ясно,  что  при  [pic]  имеет

место равенство

                                    [pic]

      Так   как   распределение   длительности   обслуживания   предположено

показательным и  не зависящим ни от  того,  сколько  требований  находится  в

очереди,  ни  от  того,  как   велики   длительности   обслуживания   других

требований, то вероятность за время t не завершить  ни  одного  обслуживания

(т.е. вероятность  того, что не освободится ни  один из приборов) равна

                                    [pic]

      Если все  приборы  заняты  обслуживанием  и  ещё   имеется  достаточная

очередь требований,  которые ожидают обслуживания,  то  поток обслуженных

требований будет  простейшим. Действительно, в этом случае все три условия  —

стационарность,  отсутствие  последействия  и  ординарность   —   выполнены.

Вероятность освобождения за промежуток времени  t  ровно  s  приборов  равна

(это можно показать  и простым подсчетом)

                                    [pic]

Итак,

                                    [pic]

и, следовательно,

                                    [pic]

Но вероятности [pic] известны:

                                    [pic]

поэтому

                                    [pic]

Очевидными преобразованиями приводим правую  часть  последнего  равенства  к

виду

[pic][pic]=

            [pic]

            [pic][pic].

      Из формул (18) и (19) следует, что [pic] поэтому при m[pic]0

                       [pic]            (22)

Само собой разумеется, что при t[pic]0

                                    [pic]

       Функция  [pic]  имеет  в   точке  t=1  разрыв  непрерывности,   равный

вероятности застать все приборы занятыми.

                      7. Средняя длительность ожидания.

      Формула   (22)   позволяет   находить   все   интересующие    числовые

характеристики  длительности ожидания. В частности,  математическое  ожидание

длительности ожидания начала обслуживания или,  как  предпочитают  говорить,

средняя длительность ожидания равна

                                    [pic]

Несложные вычисления приводят к формуле

                            [pic]                  (23)

      Дисперсия величины [pic] равна

                                    [pic]

Формула (23) даёт среднюю  длительность ожидания  одного  требования.  Найдем

среднюю потерю времени  требованиями, пришедшими  в  систему  обслуживания  в

течение  промежутка  времени  T.  За  время  T  в  систему  поступает  [pic]

требований и  среднем; общая потеря ими времени  па ожидание в среднем равна

                       [pic]       (24)

      Приведем небольшие арифметические  подсчеты,  которые  продемонстрируют

нам,  как  быстро  возрастают  суммарные  потери  времени  па   ожидание   с

изменением  величины  [pic].  При  этом  мы  ограничиваемся  случаем  Т=1  и

рассматриваем лишь самые малые значения т: т=1 и т=2.

       При т=1 в силу (20)

                                    [pic]

При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение а[pic] приблизительно равно 0,011;  0,267;

0,500; 1,633; 8,100.

      При m=2 в силу (24)

                                 [pic][pic]

      При [pic]=0,1; 1,0; 1,5;  1,9  значение  а[pic]  приблизительно  равно

00003; 0,333; 1,350; 17,537.

      Приведённые данные иллюстрируют  хорошо  известный  факт  относительно

большой  чувствительности  систем  обслуживания,  уже   достаточно   сильно

загруженных, к  возрастанию загрузки.  Потребитель  при  этом  сразу  ощущает

значительное  возрастание  длительности  ожидания.  Этот  факт   обязательно

следует учитывать  при расчёте загрузки  оборудования  в  системах  массового

обслуживания. 
 
 

              Раздел ІІІ. Пример использования  СМО с ожиданием 

В городе имеется  транспортное агентство для обслуживания населения.

Число заявок на обслуживание случайно и представлено выборкой 1.

   Время перевозок  (включая время возвращения в гараж), так же случайно и

представлено выборкой 2.

    Определить :

1) оптимальное  число автомашин в агентстве,  выполняющих операции в течение

   10 часов  в день; полагая, что обслуживание  одной заявки приносит доход  в

   20 грн, а  простой автомашины приносит убыток 3,25 грн. в час.

2) 5-6 операционных  характеристик, наиболее существенных  для анализа работы

   агентства.

3)  Вероятность  занятости каждой из автомашин  в предложении, что все машины

   пронумерованы,  а обслуживание очередной заявки  осуществляет свободная

   машина  с наименьшим номером.

Выборка 1  число  заявок на перевозку за день =0,046229

Х1

={8;5;8;4;21;0;9;3;8;5;1;4;12;0;10;1;0;7;2;21;1;3;4;6;0;8;2;22;1;2;8;4;5;6;2

;6;

3;6;16;7;2;2;2;13;5;5;21;2;4;}

Выборка 2 Время  обслуживания одной заявки в часах.

Х2 =

25,52,22,7,15,55,43,11,25,24,23,24,13,15,11,38,8,18,14,73,8,48,22,4,30,6,17,

12,23,112,10,45,4,32,123,39,59,19,5,12,5,7,74,57,10,35,12,28,11,16. 
 

Прежде  чем  рассматривать  транспортное  агентство  как   СМО,   необходимо

доказать, что мы имеем на это право.

   Действительно,  наше транспортное агентство  обладает всеми  присущими   СМО

элементами.

  Входящий поток  - заявки на перевозку, есть  очередь неограниченной  длинны,

обслуживающими  приборами являются автомашины, обслуженные  заявки  составляют

входящий поток.

   Обоснуем  наши утверждения и поясним.  Входящий поток, как уже   отмечалось,

являются заявки на обслуживание населения. Для дальнейшей работы  необходимо

убедиться в том  что входящий поток является простейшим (пуассоновским).

  Докажем это на сознательном уровне.  Ординарность  вытекает  из  следующих

соображений: две  или более  заявок  вряд  ли  успеют  в  секунду  в  секунду

прибыть к транспортному  агентству, какая то одна все равно  будет  первой  а

остальные  будут  вынуждены  стать  в  очередь,  к  тому  же   одна   машина

одновременно не станет заниматься двумя или более  заявками.

  Отсутствие  после действия обуславливается   тем  что  заказчик  машины  (на

обслуживание) вряд ли знает, сколько поступило  заявок  на  обслуживание  до

него и сколько  ему придется ждать обслуживания,  т.е.  заявки  поступают  не

зависимо друг от друга.

  Стационарность  обслуживается тем что число  заявок  на  транспортировку   за

один час в  среднем постоянно.

   Таким образом  можно сделать вывод что  входящий  поток  требований  имеет

Пуассоновское распределение.

      Приведём критерий проверки распределения  входящего  потока  требований

на соответствие пуассоновскому закону распределения.

      Одним из  признаков  того,  что  случайная  величина  распределена  по

закону распределения  Пуассона, является совпадение математического  ожидания

случайной величины и дисперсии этой же случайной  величины, то есть:

                                    [pic]

      В  качестве  оценки  для   математического  ожидания  обычно   выбирают