Система массового обслуживания

Введение....................................................................

.............................. 

1. Классификация  СМО и их основные элементы ............................... 

2. Обслуживание  с

  ожиданием.............................................................. 

3. Пример использования  СМО с

  ожиданием...................................... 

Расчеты.....................................................................

.............................. 

Выводы......................................................................

............................. 

Список

литературы..................................................................

.............. 

Приложение

1...........................................................................

.............. 

Приложение

2...........................................................................

.............. 
 
 

                                  ВВЕДЕНИЕ

      Во многих областях практической  деятельности человека мы  сталкиваемся

с  необходимостью  пребывания  в состоянии ожидания.   Подобные   ситуации

возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах,  при  ожидании

обслуживающим персоналом самолетов  разрешения  на  взлет  или  посадку,  на

телефонных станциях в ожидании  освобождения  линии  абонента,  в  ремонтных

цехах в ожидании ремонта станков и оборудования,  на  складах  снабженческо-

сбытовых  организаций  в  ожидании  разгрузки  или   погрузки   транспортных

средств.  Во  всех  перечисленных  случаях  имеем  дело  с   массовостью   и

обслуживанием.  Изучением  таких  ситуаций   занимается   теория   массового

обслуживания.

      В теории систем массового   обслуживания  (в  дальнейшем  просто  -CMО)

обслуживаемый объект называют требованием. В общем  случае  под  требованием

обычно понимают запрос на удовлетворение  некоторой  потребности,  например,

разговор  с  абонентом,  посадка   самолета,   покупка   билета,   получение

материалов на складе.

      Средства,   обслуживающие   требования,   называются    обслуживающими

устройствами или каналами обслуживания. Например,  к  ним  относятся  каналы

телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники,  билетные  кассиры,

погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

      Совокупность    однотипных    обслуживающих    устройств    называется

обслуживающими  устройствами.  Такими  системами   могут   быть   телефонные

станции, аэродромы, билетные кассы,  ремонтные  мастерские,  склады  и  базы

снабженческо-сбытовых организаций и т.д.

      В  теории  СМО  рассматриваются   такие   случаи,   когда   поступление

требований   происходит    через    случайные    промежутки    времени,    а

продолжительность  обслуживания  требований  не  является  постоянной,  т.е.

носит случайный  характер. В силу  этих  причин  одним  из  основных  методов

математического описания СМО является аппарат теории случайных процессов .

      Основной задачей теории СМО  является изучение режима  функционирования

обслуживающей  системы  и  исследование  явлений,  возникающих  в   процессе

обслуживания. Так, одной из  характеристик  обслуживающей  системы  является

время пребывания  требования  в  очереди.  Очевидно,  что  это  время  можно

сократить за счет увеличения  количества  обслуживающих  устройств.   Однако

каждое дополнительное устройство требует определенных  материальных  затрат,

при этом увеличивается  время  бездействия  обслуживающего  устройства  из-за

отсутствия  требований  на  обслуживание,  что  также  является   негативным

явлением. Следовательно, в теории СМО возникают  задачи  оптимизации:  каким

образом   достичь   определенного   уровня   обслуживания     (максимального

сокращения  очереди  или  потерь  требований)  при   минимальных   затратах,

связанных с простоем обслуживающих устройств. 
 
 

                      Раздел І. Классификация СМО и их

                              основные элементы

      СМО классифицируются на разные  группы в зависимости от  состава   и  от

времени пребывания  в  очереди  до  начала  обслуживания,  и  от  дисциплины

обслуживания требований.

      По  составу  СМО   бывают   одноканальные   (с   одним   обслуживающим

устройством) и  многоканальными (с большим числом  обслуживающих  устройств).

Многоканальные  системы  могут  состоять  из  обслуживающих  устройств   как

одинаковой, так  и разной производительности.

      По времени пребывания требований  в  очереди  до  начала  обслуживания

системы делятся  на три группы:

1) с неограниченным  временем ожидания (с ожиданием),

2) с отказами;

3) смешанного типа.

      В СМО с неограниченным временем  ожидания очередное требование,  застав

все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает  обслуживания до  тех

пор, пока одно из устройств не освободится.

      В системах с отказами поступившее  требование,  застав  все  устройства

занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с  отказами  может

служить работа автоматической телефонной станции.

      В  системах  смешанного  типа  поступившее  требование,   застав   все

(устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают  обслуживания в  течение

ограниченного времени. Не дождавшись  обслуживания  в  установленное  время,

требование покидает систему.

      В  системах  с  определенной  дисциплиной   обслуживания   поступившее

требование,  застав  все  устройства  занятыми,  в  зависимости  от   своего

приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

      Основными элементами СМО являются: входящий поток требований,  очередь

требований,   обслуживающие   устройства,   (каналы)   и   выходящий   поток

требований.

      Изучение  СМО  начинается  с  анализа  входящего  потока   требований.

Входящий  поток  требований  представляет  собой  совокупность   требований,

которые поступают  в систему  и  нуждаются  в  обслуживании.  Входящий  поток

требований изучается  с целью установления  закономерностей  этого  потока  и

дальнейшего улучшения  качества обслуживания.

      В большинстве случаев входящий  поток неуправляем  и  зависит   от  ряда

случайных  факторов.  Число  требований,  поступающих  в  единицу   времени,

случайная величина. Случайной  величиной  является  также  интервал  времени

между  соседними  поступающими  требованиями.  Однако   среднее   количество

требований, поступивших  в единицу времени, и средний  интервал времени  между

соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

      Среднее  число  требований,  поступающих  в  систему   обслуживания  за

единицу  времени,  называется  интенсивностью   поступления   требований   и

определяется следующим  соотношением:

                                    [pic]

где Т - среднее  значение интервала между поступлением очередных требований.

      Для многих  реальных  процессов   поток  требований  достаточно  хорошо

описывается  законом  распределения   Пуассона.   Такой   поток   называется

простейшим.

      Простейший поток обладает такими важными свойствами:

    1)   Свойством   стационарности,    которое    выражает    неизменность

      вероятностного  режима  потока  по  времени.  Это  значит,  что  число

      требований, поступающих в  систему   в  равные  промежутки  времени,  в

      среднем должно быть постоянным. Например, число  вагонов,  поступающих

      под погрузку в среднем в  сутки должно быть  одинаковым  для  различных

      периодов времени, к примеру,  в начале и в конце декады.

    2)   Отсутствия   последействия,  которое    обуславливает    взаимную

      независимость  поступления   того  или  иного   числа   требований   на

      обслуживание в непересекающиеся  промежутки времени.  Это  значит,  что

      число требований, поступающих в  данный отрезок времени, не зависит от

      числа  требований,  обслуженных   в  предыдущем   промежутке   времени.

      Например, число автомобилей, прибывших  за материалами в  десятый   день

      месяца, не зависит от числа  автомобилей, обслуженных в   четвертый  или

      любой другой предыдущий день данного месяца.

    3) Свойством  ординарности, которое выражает  практическую  невозможность

      одновременного поступления   двух  или  более  требований  (вероятность

      такого  события  неизмеримо  мала  по  отношению  к   рассматриваемому

      промежутку времени, когда последний  устремляют к нулю).

      При простейшем потоке требований  распределение требований, поступающих

в систему подчиняются  закону распределения Пуассона:

      вероятность [pic]  того,  что   в  обслуживающую  систему  за  время  t

поступит именно k требований:

                                    [pic]

где[pic]. - среднее  число требований, поступивших на обслуживание в  единицу

времени.

      На практике условия простейшего  потока не всегда  строго  выполняются.

Часто  имеет  место  нестационарность  процесса  (в  различные  часы  дня  и

различные  дни  месяца  поток  требований  может  меняться,  он  может  быть

интенсивнее утром  или в последние  дни  месяца).  Существует  также  наличие

последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца

зависит  от  их  удовлетворения  в  начале  месяца.  Наблюдается  и  явление

неоднородности, когда  несколько клиентов одновременно пребывают  на склад  за

материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения  с  достаточно

высоким  приближением  отражает  многие  процессы  массового   обслуживания.