Система массового обслуживания

      Распределение  Эрланга  представляет  собой распределение суммы   k-

независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).

      Обозначим для случая распределения  (1) через [pic] время  обслуживания

требования. Тогда  средняя длительность обслуживания равна

                                    [pic]

Это равенство  даст нам cпособ оценки параметра [pic] по опытным данным.  Как

легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

                                    [pic]

          2. Процесс обслуживания как марковский случайный процесс.

      В указанных нами предположениях  о потоке требований и  о   длительности

обслуживания задачи  теории  массового  обслуживания  приобретают  некоторые

черты, облегчающие  проведение исследований. Мы отмечали  уже  вычислительную

простоту. Теперь отметим более принципиальное  соображение,  которое  станем

развивать применительно  к изучаемой задаче.

      В каждый момент рассматриваемая  система может находиться  в   одном  из

следующих состоянии: в момент t в системе находятся k  требовании  (k=0,  1,

2,  ...).  Если  k[pic]rn,  то  в  системе  находятся   и   обслуживаются   k

требований, а m-k  -  приборов  свободны.  Если  k[pic]m,  то  m  требований

обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают  обслуживания.  Обозначим

через [pic]  состояние,  когда в системе находятся k  требований.  Таким

образом, система  может находиться в состояниях  [pic]  ...  Обозначим  через

[pic] — вероятность  того, что  система  в   момент  t  окажется  в  состоянии

[pic].

      Сформулируем, в чем заключается особенность  изучаемых  нами  задач  в

сделанных предположениях.  Пусть  в  некоторый  момент  [pic]  наша  система

находилась и  состоянии [pic].  Докажем,  что  последующее  течение  процесса

обслуживания  не  зависит  в  смысле  теории  вероятностей  от   того,   что

происходило   до   момента   [pic].   Действительно,   дальнейшее    течение

обслуживания полностью  определяется тремя следующими факторами:

      моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент [pic];

      моментами появления новых требований;

      длительностью обслуживания требований, поступивших после [pic].

В силу особенностей  показательного  распределения  длительность  остающейся

части  обслуживания  не  зависит  от  того,  как  долго   уже   продолжалось

обслуживание до момента [pic].  Так  как  поток  требований  простейший,  то

прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента  [pic].

Наконец  длительность  обслуживания  требований,  появившихся  после  [pic],

никак не зависит  от того, что и как обслуживалось до момента [pic].

      Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие  зависит

только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от  того,  как

происходило  развитие  в  прошлом,  называются  процессами  Маркова  или  же

процессами  без  последействия.  Итак,  система   с   ожиданием   в   случае

простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет  собой

случайный  процесс  Маркова.   Это   обстоятельство   облегчает   дальнейшие

рассуждении.

                          3. Составление уравнений.

      Задача теперь  состоит  в   том,  чтобы  найти  те  уравнения,  которым

удовлетворяют вероятности [pic]. Одно из уравнения очевидно,  a  именно  для

каждого t

                            [pic]                                 (2)

      Найдём сначала  вероятность   того,  что  и  момент  t.+h  все  приборы

свободны. Это может  произойти следующими способами:

в момент t все приборы  были свободны  и  за  время  h  новых  требований  не

поступало;

в момент t один прибор был занят  обслуживанием  требования,  все  остальные

приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и  новых

требований не поступило.

      Остальные возможности, как-то: были  заняты два или три  прибора   и  за

время h работа на них біла закончена - имеют вероятность о(h), как легко в

этом убедится.

      Вероятность первого из указанных  событий равна

                                   [pic],

вероятность второго  события

                                   [pic].

      Таким образом

                                   [pic].

Отсюда очевидным  образом приходим  уравнению

       Перейдём  теперь  к  составлению   уравнений  для  [pic]  при  [pic]1.

Рассмотрим отдельно два различных случая: 1[pic] и  [pic].  Пусть  в  начале

1[pic]. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти  в

состояние [pic] в  момент t+h. Эти состояния таковы:

      В момент t система находилась  в состоянии  [pic],  за  время  h  новых

требований  не  поступило  и  ни  один  прибор  не   окончил   обслуживания.

Вероятность этого  события равна:

                                    [pic]

      В момент t система находилась  в состоянии [pic], за время h  поступило

новое  требование,  но  ни  одно  ранее  находившееся  требование  не   было

закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

                                    [pic]

      В момент t система находилась  в состоянии  [pic],  за  время  h  новых

требований не поступило, но  одно  требование  было  обслужено.  Вероятность

этого равна

[pic] Все остальные  мыслимые  возможности  перехода  в  состояние  [pic]  за

промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).

      Собрав воедино найденные вероятности,  получаем следующее равенство:

[pic]  Несложные   преобразования  приводят  от  этого  равенства  к   такому

уравнению для 1[pic];

[pic] (4)

      Подобные же рассуждения для  [pic] приводят к уравнению

[pic] (5)

      Для  определения  вероятностей  [pic]  получили  бесконечную   систему

дифференциальных  уравнений  (2)-(5).  Её  решение  представляет  несомненные

технические трудности.

                    4. Определение стационарного решения.

В теории массового  обслуживания обычно изучают лишь  установившееся  решение

для [pic].  Существование  таких  решений  устанавливается  так  называемыми

эргодическими теоремами, некоторые  из  них  позднее  будут  установлены.  В

рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят  обычно,

стационарные вероятности  существуют.  Введём  для  них  обозначения  [pic].

Заметим дополнительно, что [pic] при [pic].

      Сказанное  позволяет  заключить,  что  уравнения  (3),  (4),  (5)  для

стационарных вероятностей принимают следующий вид:

                       [pic]                  (6)

при 1[pic]

           [pic] (7)

при [pic]

           [pic]       (8)

      К этим уравнениям добавляется  нормирующее условие

                            [pic]                  (9)

      Для  решения  полученной  бесконечной  алгебраической  системы  введём

обозначения: при 1[pic]

                                    [pic]

при [pic]

                                    [pic]

      Система уравнений (6)-(8) в этих  обозначениях принимает такой  вид:

                          [pic]  [pic]  при  [pic]

Отсюда заключаем, что при всех [pic]

                                    [pic]

т.е. при 1[pic]

                            [pic]            (10)

и при [pic]

                            [pic]            (11)

Введём для удобства записи обозначение

                                   [pic].

      Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1[pic]

                            [pic]                  (12)

При [pic] из (11) находим, что

                                    [pic]

и, следовательно, при [pic]

                            [pic]            (13)

      Остаётся найти [pic]. Для этого в (9) подставляем выражения  [pic]  из

(12) и (13). В результате

                                    [pic]

      так как бесконечная сумма,  стоящая  в  квадратных  скобках,  сходится

только при условии, что

                            [pic]                        (14)

то при этом предположении находим равенство

                      [pic]             (15)

      Если условие (14) не выполнено,  т.е. если [pic],  то  ряд,  стоящий   в

квадратной скобке уравнения для определения  [pic],  расходится  и,  значит,

[pic] должно быть  равно 0. Но при этом, как следует   из  (12)  и  (13),  при

всех [pic] оказывается [pic].

      Методы теории цепей Маркова   позволяют  заключить,  что   при  [pic]  с

течением времени  очередь стремится к [pic] по вероятности.

      Поясним полученный  результат   на  нескольких  практических  примерах,

которые  покажут,  что  обычные  в   практической   деятельности   подсчеты,

основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не  учитывается

специфика случайных колебаний  в  поступлении  требований  на  обслуживание,

приводят к серьезным  просчетам.

      Пусть врач успевает удовлетворительно  осмотреть больного  и  заполнить

его историю болезни  в среднем за  15  минут.  Планирующие  органы  из  этого

обычно делают вывод: за четырёхчасовый рабочий день  врач  должен  принимать

16  человек.  Однако  больные  приходят  в  случайные  моменты   времени.   В

результате при  таком подсчете пропускной способности  врача к нему  неизбежно

скапливается очередь, так как при  проведенном  подсчете  [pic]  принимается

равным 1. Те же заключения относятся и к расчету  числа  коек  в  больницах,

числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т.  д.  К