Решение слабо- и неструктуризованных задач

 

Эксперимент идеально согласован.

 

Эксперимент идеально согласован.

 

Эксперимент не согласован. Для согласования эксперимента меняем значение на обратно симметричное. Тогда матрица выглядит следующим образом:

 

Эксперимент идеально согласован.

 

 

2. Оценить уровень  согласованности экспертных оценок парных сравнений альтернатив, рассчитав индекс и отношение согласованности.

 

       ,

где - максимальное собственное число матрицы парных сравнений,

 – размерность  матрицы.

       Если  £ 0,1, то согласованность мнений эксперта на приемлемом уровне.

       Если  >0,1 – мнения эксперта несогласованны.

       Признавая, что человеческие суждения находятся  в постоянном процессе изменения  и эволюции, настаивать не стоит  на стопроцентной согласованности, так как мнения могут изменяться, после того как проблема уже решена. Но надежное решение не может быть принято без приемлемого уровня согласованности. В этом смысле можно трактовать как отклонение от идеально проведенного эксперимента.

       Отношение согласованности – отношение  индекса согласованности к случайному индексу для матрицы того же порядка.

       Случайный индекс – индекс согласованности  матрицы парных сравнений, элементы которой сгенерированы случайным образом.

 

       Рассчитаем  индекс и отношение согласованности.

       Цель 1:

       Для определения максимального собственного числа для цели воспользуемся  программой основанной на степенном  методе решения.

       Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.

       Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что

       Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов  

       Тогда (*) для любого номера i=1,2,...,n.

       Точнее  (**).

       Докажем это в предположении, что матрица  A имеет n линейных независимых собственных векторов . Запишем разложение вектора по базису из собственных векторов 

       Тогда  
 
 
 
 

       Так как для k=2, ...,n и для k=3, ...,n, то отсюда следует, что при выполняется соотношение (**)

       Взяв  достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (*) наибольший по модулю корень характеристического уравнения для матрицы A. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора , в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих значений.

       Так как , то при

       .

       Поскольку собственный вектор определяется с  точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

       Используя программу получим .

       Отсюда, . Согласованность экспертов на приемлемом уровне. 

       Критерий 2:

         
 
 
 
 
 

       Используя приложение Microsoft Excel «Поиск решения» получим

       Отсюда, . Согласованность экспертов на приемлемом уровне. 

       Критерий 3:

         
 
 
 
 
 

       Используя приложение Microsoft Excel «Поиск решения» получим

       Отсюда, . Согласованность экспертов на приемлемом уровне. 
 

       Критерий 4:

         
 
 
 
 
 

       Используя приложение Microsoft Excel «Поиск решения» получим

       Отсюда, . Согласованность экспертов на приемлемом уровне. 

       Критерий 5:

         
 
 
 
 
 

       Используя приложение Microsoft Excel «Поиск решения» получим

       Отсюда, . Согласованность экспертов на приемлемом уровне. 

3. Определить веса дуг иерархии путем прямых расчетов, остальные веса дуг – с помощью программы.

 

       Для нахождения весов дуг по полученной в результате применения метода парных сравнений матрицы А необходимо определить собственный вектор Х  соответствующий максимальному  собственному числу.

       .

       Для квадратной матрицы n-го порядка имеет место уравнение 

       Таким образом элементы матрицы Х соответствуют  системе уравнений 
 

        - максимальное собственное число,

        - элементы матрицы  парных сравнений. 

       Цель 1:

       Для определения весов дуг для цели воспользуемся программой основанной на степенном методе решения. 
 

        

        

        

        

       В сумме веса дуг должны составлять единицу. Если условие выполняется, значит, вычисления были правильными.

         – выполняется. 

       Критерий 2: 

        

       Пусть , тогда

        

       Сложим  второе и третье уравнения. В результате получаем уравнение с одной неизвестной  – х₂, которую легко найти, решив данное уравнение:

        

        

       Зная  х₁ и х₂, можно найти х₃, выразив его из любого уравнения (в данном случае – из первого):

        

       В результате вычислений получаем собственный  вектор .

        

        

        

       В сумме веса дуг должны составлять единицу. Если условие выполняется, значит, вычисления были правильными.

         – выполняется. 

       Критерий 3: 

        

       Пусть , тогда

        

       Сложим  первое и третье уравнения. В результате получаем уравнение с одной неизвестной – х₂, которую легко найти, решив данное уравнение:

        

        

       Зная  х₂ и х₃, можно найти х₁, выразив его из любого уравнения (в данном случае – из второго):

        

       В результате вычислений получаем собственный  вектор . 

        

        

        

       В сумме веса дуг должны составлять единицу. Если условие выполняется, значит, вычисления были правильными.

         – выполняется. 

       Критерий 4: 

        

       Пусть , тогда

        

       Умножим третье уравнение на 10, получим:

        

       Сложим второе и третье уравнения. В результате получаем уравнение с одной неизвестной – х₃, которую легко найти, решив данное уравнение: