Производственная функция фирмы

     Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат как пропорциональных, так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.

     В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой

     C ( y ) = 1000 + 20 y + 0,1 y ² (тыс. руб.).

     Это означает, что постоянные издержки

     C ₀ = 1000 (т. руб.),

     пропорциональные  затраты 

     C ₁ = 20 y ,

     т.е. обобщенный показатель этих затрат в  расчете на одно изделие равен: а = 20 тыс. руб., а нелинейные затраты составят C ₂ = 0,1 y ² ( b = 0,1).

     Приведенная выше формула для издержек является частным случаем общей формулы, где показатель h = 2.

     Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума  прибыли (*), согласно которой имеем:  

     Совершенно  очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно определяется рыночной ценой изделия p .

     В табл. 1 представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.

     В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у , второй столбец содержит данные о полных издержках С (у), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:  
 
 
 
 
 
 
 

     Таблица 1

     Данные  об объемах выпуска, затратах и прибыли

 

     Четвертый столбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек МС , которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительного изделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные издержки возрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением, высказанным в начале этого параграфа. При рассмотрении таблицы следует обратить внимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересечении строки (маргинальные издержки МС) и столбца (цена p) с равными их значениями, что совершенно аккуратно соотносится с правилом оптимальности, установленным выше.

     Проведенный выше анализ относится к обстановке совершенной конкуренции, когда  производитель не может повлиять своими действиями на систему цен, и поэтому цена p на товар y выступает в модели производителя как экзогенная величина.

     В случае же несовершенной конкуренции  производитель может оказывать  непосредственное влияние на цену. В особенности это относится  к монопольному производителю товара, который формирует цену из соображения  разумной рентабельности.

     Рассмотрим  фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла определенный процент (долю 0 < g < 1) от валового дохода, т.е.  

     Отсюда  имеем  

     Валовой доход  

     и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов  производства ( y _w 0). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. p = p (y), и при увеличении объема производства (у) цена товара уменьшается, т.е. p'(y) < 0. Это положение имеет место для монополиста и в общем случае.

     Требование  максимизации прибыли для монополиста  имеет вид  
 

     Предполагая по-прежнему, что >0, имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска ():

     )=0

     Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста () как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя в формуле, помеченной звездочкой.

     Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы  учесть ресурсные ограничения, которые  играют очень большую роль в хозяйственной  деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и  предполагается, что фирма может  его использовать не более чем  в количестве Q . Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y ₁ , ..., y _j , ..., y _n искомые объемы производства этих продуктов; p ₁ , ..., p _j , ..., p _n их цены. Пусть также q цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовой доход фирмы равен  

     а прибыль составит  

     Легко видеть, что при фиксированных  q и Q задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода.

     Предположим далее, что функция издержек ресурса  для каждого продукта C _j (y_j ) обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С ( у ). Таким образом, C _j ' (y _j ) > 0 и C _j '' ( y _j ) > 0.

     В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая:

      
 

     Нетрудно  видеть, что в достаточно общем  случае решение этой оптимизационной  задачи находится путем исследования системы уравнений:

            

     Где j множитель Лагранжа.

     Заметим, что соотношение  

     является  по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке  маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций  издержек  

     из  системы уравнений (**) имеем:  

           

      

     Заметим, что оптимальный выбор фирмы  зависит от всей совокупности цен  на продукты ( p ₁ , ..., p _n ), причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое число раз оптимальные выпуски не изменяются. Нетрудно видеть также, что из уравнений, помеченных звездочками (***), следует, что при увеличении цены на продукт n (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, так как  

     а производство остальных товаров  уменьшится, так как  

     Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение  

     т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные  выпуски увеличиваются.

     Можно привести ряд простых примеров, которые  помогут лучше понять правило  оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:

     1) пусть n = 2; p ₁ = p ₂ = 1; a ₁ = a ₂ = 1; Q = 0,5; q = 0,5.

     Тогда из (***) имеем:  

     = 0,5; = 0,5; П = 0,75; = 1;

     2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p ₁ = 2.

     Тогда оптимальный по прибыли план фирмы: = 0,6325; = 0,3162.

     Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает: П = 1,3312; = 1,58;

     3) заметим, что в предыдущем примере 2 фирма должна изменить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станет менять налаженное производство, т.е. выберет программу y₁ = 0,5; y ₂ = 0,5.

     Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1,25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.  

     3.2 Методы учета научно-технического  прогресса 

     Общепризнанным  следует считать тот факт, что  с течением времени на предприятии, сохраняющем фиксированную численность  работников и постоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных  производственных факторов, связанных  с затратами ресурсов, существует фактор, который обычно называют научно-техническим прогрессом (НТП). Этот фактор можно рассматривать как синтетическую характеристику, отражающую совместное влияние на экономический рост многих существенных явлений, среди которых нужно отметить следующие:

     а) улучшение со временем качества рабочей силы вследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использования более совершенной техники;

     б) улучшение качества машин и оборудования приводит к тому, что определенная сумма капитальных вложений (в неизменных ценах) позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

     в) улучшение многих сторон организации производства, в том числе снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы, образование различного рода объединений, развитие международной специализации и торговли и т.п.

     В связи с этим термин научно-технический  прогресс можно интерпретировать как  совокупность всех явлений, которые  при фиксированных количествах  затрачиваемых производственных факторов дают возможность увеличить выпуск качественной, конкурентоспособной  продукции. Весьма расплывчатый характер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП  проводится лишь как анализ того дополнительного  увеличения продукции, которое не может  быть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов. Главный  подход к учету НТП сводится к  тому, что в совокупность характеристик  выпуска или затрат вводится время (t) как независимый производственный фактор и рассматривается преобразование во времени либо производственной функции, либо технологического множества.

     Остановимся на способах учета НТП путем преобразования производственной функции, причем за основу примем двухфакторную производственную функцию:  

     где в качестве производственных факторов выступают капитал (К) и труд (L). Модифицированная производственная функция в общем случае имеет вид  

     причем  выполняется условие  

     которое и отражает факт роста производства во времени при фиксированных  затратах труда и капитала.

     При разработке конкретных модифицированных производственных функций обычно стремятся  отразить характер НТП в наблюдаемой  ситуации. При этом различают четыре случая:

     а) существенное улучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежних результатов с меньшим количеством занятых; подобный вид НТП часто называют трудосберегающим. Модифицированная производственная функция  имеет вид  где монотонная функция l(t) характеризует рост производительности труда;

     

     Рис. 11. Рост производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала  

     б) преимущественное улучшение качества машин и оборудования повышает фондоотдачу, имеет место капиталосберегающий НТП и соответствующая производственная функция:  

     где возрастающая функция k (t) отражает изменение фондоотдачи;

     в) если имеет место значительное влияние обоих упомянутых явлений, то используется производственная функция  в форме