Производственная функция фирмы

     1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

     Под производством  понимается любая деятельность по использованию  природных, материально-технических  и интеллектуальных ресурсов для  получения как материальных, так  и нематериальных благ.

     С развитием человеческого общества характер производства меняется. На ранних стадиях развития человечества господствовали природные, натуральные, естественно  возникшие элементы производительных сил. Да и сам человек в это  время в большей степени был  продуктом природы. Производство в  этот период получило название натурального.

     С развитием средств производства начинают преобладать исторически  созданные материально-технические  элементы производительных сил. Это  эпоха капитала. В настоящее время  решающее значение имеют знания, технологии, интеллектуальные ресурсы самого человека. Наша эпоха это эпоха информатизации, эпоха господства научно-технических  элементов производительных сил. Владение знаниями, новыми технологиями имеет  решающее значение для производства. Во многих развитых странах ставится задача всеобщей информатизации общества. Потрясающими темпами развивается  всемирная компьютерная сеть Internet.

     Традиционно роль общей теории производства выполняет  теория материального производства, понимаемая как процесс превращения  производственных ресурсов в продукт. Основными производственными ресурсами  являются труд (L) и капитал (K). Способы производства или существующие производственные технологии определяют, какой объем продукции производится при заданных количествах труда и капитала. Математически существующие технологии выражаются через производственную функцию. Если обозначить объем выпускаемой продукции через Y , то производственную функцию можно записать

     Y = f ( K , L ).

     Это выражение означает, что объем  выпуска является функцией количества капитала и количества труда. Производственная функция описывает множество  существующих в данный момент технологий. Если изобретается лучшая технология, то при тех же затратах труда и  капитала объем выпуска увеличивается. Следовательно, изменения в технологии изменяют и производственную функцию. Методологически теория производства во многом симметрична теории потребления. Однако если в теории потребления  основные категории измеряются лишь субъективно или вообще пока не подлежат измерению, то основные категории теории производства имеют объективную  основу и могут быть измерены в  определенных натуральных или стоимостных  единицах.

     Несмотря  на то, что понятие производство может представиться очень широким, нечетко выраженным и даже расплывчатым, поскольку в реальной жизни под  производством понимается и предприятие, и стройка, и сельскохозяйственная ферма, и транспортное предприятие, и очень крупная организация  типа отрасли народного хозяйства, тем не менее, экономико-математическое моделирование выделяет нечто общее, присущее всем этим объектам. Этим общим является процесс преобразования первичных ресурсов (производственных факторов) в конечные результаты процесса. Поэтому основным исходным понятием в описании экономического объекта становится технологический способ, который представляется обычно как вектор затрат выпуска v, включающий в себя перечисление объемов затрачиваемых ресурсов (вектор x) и сведения о результатах их преобразования в конечные продукты или другие характеристики (прибыль, рентабельность и т.п.) (вектор y):

     v = ( x ; y ).

     Размерность векторов x и y , а также способы их измерения (в натуральных или стоимостных единицах) существенно зависят от изучаемой проблемы, от уровней, на которых ставятся те или иные задачи экономического планирования и управления. Совокупность векторов технологических способов, которые могут служить описанием (с допустимой точки зрения исследователя точностью) производственного процесса, реально осуществимого на некотором объекте, называется технологическим множеством V данного объекта. Для определенности мы будем полагать, что размерность вектора затрат x равна N , а вектора выпуска y соответственно M . Таким образом, технологический способ v является вектором размерности (M + N), а технологическое множество VCR₊ ^M+N. Среди всех технологических способов, осуществимых на объекте, особое место занимают способы, которые выгодно отличаются от всех прочих тем, что они требуют либо меньших затрат при одинаковом выпуске, либо соответствуют большему выпуску при одинаковых затратах. Те из них, которые занимают в определенном смысле предельное положение в множестве V , представляют особый интерес, поскольку они являются описанием допустимого и предельно выгодного реального производственного процесса.

     Скажем, что вектор ν⁽¹⁾=(х⁽¹⁾;у⁽¹⁾) предпочтительнее, чем вектор ν⁽²⁾=(х⁽²⁾;у⁽²⁾)  с обозначением ν⁽¹⁾> ν⁽²⁾если выполняются следующие условия:  

     1) у_i ^{(1 )}  ≥  y_i ⁽²⁾ (i=1,…,М);

     2) x_j ⁽¹⁾  ≤  x_j ⁽²⁾ (j=1,…М);  

     и при этом имеет место по крайней  мере одно из двух:

     а) существует такой номер i ₀ , что у_i0 ^{(1 )}  >  y_i0 ⁽²⁾  

     б) существует такой номер j ₀ , что x_j0 ⁽¹⁾  <  x_j0 ⁽²⁾

     Технологический способ ۷ называется эффективным, если он принадлежит технологическому множеству V и не существует другого вектора  ν Є V который был бы предпочтительнее ۷. Приведенное определение означает, что эффективными считаются те способы, которые не могут быть улучшены ни по одной затратной компоненте, ни по одной позиции выпускаемой продукции, без того чтобы не перестать быть допустимыми. Множество всех технологически эффективных способов обозначим через V* . Оно является подмножеством технологического множества V или совпадает с ним. По существу задача планирования хозяйственной деятельности производственного объекта может быть интерпретирована как задача выбора эффективного технологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешним условиям. При решении такой задачи выбора достаточно существенным оказывается представление о самом характере технологического множества V , а также его эффективного подмножества V* .

     В ряде случаев оказывается возможным  допустить в рамках фиксированного производства возможность взаимозаменяемости некоторых ресурсов (различных видов  топлива, машин и работников и  т.п.). При этом математический анализ подобных производств основывается на предпосылке о континуальном  характере множества V , а следовательно, на принципиальной возможности представления вариантов взаимной замены при помощи непрерывных и даже дифференцируемых функций, определенных на V . Указанный подход получил свое наибольшее развитие в теории производственных функций.

     С помощью понятия эффективного технологического множества производственную функцию  можно определить как отображение 

     y = f(x),

     где ν=(х;у) Є V*.

     Указанное отображение, вообще говоря, является многозначным, т.е. множество f(x) содержит более чем одну точку. Однако для многих реалистичных ситуаций производственные функции оказываются однозначными и даже, как сказано выше, дифференцируемыми. В наиболее простом случае производственная функция есть скалярная функция N аргументов:

                  y = f(x₁,…,x_N).

     Здесь величина y имеет, как правило, стоимостный характер, выражая объем производимой продукции в денежном выражении. В качестве аргументов выступают объемы затрачиваемых ресурсов при реализации соответствующего эффективного технологического способа. Таким образом, приведенное соотношение описывает границу технологического множества V ,поскольку при данном векторе затрат (x₁ , ..., x_N) производить продукции, в количестве большем, чем y , невозможно, а производство продукции в количестве меньшем, чем указанное, соответствует неэффективному технологическому способу. Выражение для производственной функции оказывается возможным использовать для оценки эффективности принятого на данном предприятии методе хозяйствования. В самом деле, для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции. Полученная разница дает полезный материал для оценки эффективности в абсолютном и относительном измерении.

     Производственная  функция представляет собой очень  полезный аппарат плановых расчетов, и поэтому в настоящее время  развит статистический подход к построению производственных функций для конкретных хозяйственных единиц. При этом обычно используется некоторый стандартный  набор алгебраических выражений, параметры  которых находятся при помощи методов математической статистики. Такой подход означает, в сущности, оценку производственной функции на основе неявного предположения о  том, что наблюдаемые производственные процессы являются эффективными. Среди  разнообразных типов производственных функций наиболее часто применяются линейные функции вида

      
_{поскольку для них  легко решается задача оценивания коэффициентов  по статистическим данным, а также степенные  функции} 

     для которых задача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы  путем перехода к логарифмам.

     В предположении о дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможных комбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с производственной функцией  величины.

     В частности, дифференциал  
 
 

     представляет  собой изменение стоимости выпускаемой  продукции при переходе от затрат набора ресурсов x=(x₁ , ..., x_N) к набору x+dx=(x₁+dx₁,..., x_N +dx_N) при условии сохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов. Тогда величину частной производной  
 

     можно трактовать как предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу или, иными словами, коэффициент предельной продуктивности, который показывает, на сколько увеличится выпуск продукции в связи с  увеличением затрат ресурса с  номером j на малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускает истолкование как верхний предел цены p_j , которую производственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -того ресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения и использования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит  

     и, следовательно, соотношение 

     позволит  получить дополнительную прибыль.

     В коротком периоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный, большинство  производственных функций обладают свойством убывающего предельного  продукта. Предельным продуктом переменного  ресурса называют прирост общего продукта в связи с увеличением  применения данного переменного  ресурса на единицу.

     Предельный  продукт труда можно записать как разность

     MPL = F ( K , L + 1) - F ( K , L ),

     где MPL предельный продукт труда.

     Предельный  продукт капитала можно также  записать как разность

     MPK = F ( K + 1, L ) - F ( K , L ),

     где MPK предельный продукт капитала.

     Характеристикой производственного объекта является также величина средней ресурсоотдачи (продуктивности производственного  фактора)  
 

     имеющего  ясный экономический смысл количества выпускаемой продукции в расчете  на единицу используемого ресурса (производственного фактора). Величина, обратная к ресурсоотдаче  

     обычно  называется ресурсоемкостью, поскольку  она выражает количество ресурса  j , необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении. Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость, материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают с ухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятный результат.