Производственная функция фирмы

     Частное от деления дифференциальной продуктивности на среднюю  
 

     называется  коэффициентом эластичности продукции  по производственному фактору  j и дает выражение относительного прироста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на 1%. Если E_j 0, то происходит абсолютное снижение выпуска продукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация может иметь место при использовании технологически неподходящих продуктов или режимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышению температуры и необходимая для производства продукта химическая реакция не пойдет. Если 0 < E_j  1, то каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.

     Если  E_j > 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивности превосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единица ресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднюю характеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит, когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы. Для линейной производственной функции коэффициент a_j численно равен величине дифференциальной продуктивности j-того фактора, а для степенной функции показатель степени a_j имеет смысл коэффициента эластичности по j-тому ресурсу.

 

      

     2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 

     2.1. Производственная  функция Кобба-Дугласа.

     Первый  успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии  на базе статистических данных, был  получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом  П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими  функция изначально имела вид:

                        (1)

     где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда, - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор, и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде 

     Легко проверить, что   и 
 

     Кроме того, функция  (1)  линейно-однородна: 

     Таким образом, функция Кобба-Дугласа (1) обладает всеми вышеуказанными свойствами.

     Для многофакторного производства функция  Кобба-Дугласа имеет вид: 

     Для учета технического прогресса в  функцию Кобба-Дугласа вводят специальный  множитель (технического прогресса) , где t - параметр времени,   - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид:  

     где не обязательно . Как будет показано в следующем параграфе, показатели степени в функции (1) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду. 
 

     2.2. Производственная  функция CES (с постоянной эластичностью замещения)

     Имеет вид:

                        (2)

     Где - коэффициент шкалы, - коэффициент распределения,  - коэффициент замещения,- степень однородности. Если выполнены условия:

     то  функция (2) удовлетворяет неравенствам и . С учетом технического прогресса функция CES записывается: 

     Название  данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения  постоянна.

     2.3. Производственная  функция с фиксированными  пропорциями. Эта функция получается из (2) при   и имеет вид:

     }                                 (3)

     2.4. Производственная  функция затрат-выпуска  (функция Леонтьева) получается из (3) при : 

     Содержательно эта функция задает пропорцию, с  помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое  для производства одной единицы  выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи: 

     или 

     Здесь - количество затрат вида k, необходимое для производства одной единицы продукции, а y - выпуск. 

     2.5. Производственная  функция анализа  способов производственной  деятельности.

     Данная  функция обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r) базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид "оптимизационной задачи" 

     Где                                                                     (5)

       Здесь  - выпуск продукции при единичной интенсивности j-го базового процесса, - уровень интенсивности, - количество затрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j. Как видно из (5) , если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции f по в (5) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

     2.6. Линейная производственная  функция (функция с взаимозамещением ресурсов)

     Применяется при наличии линейной зависимости выпуска от затрат:

                                                                      (6)

     Где - норма затрат k-го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

     Среди приведенных здесь производственных функций наиболее общей является функция CES.

     Для анализа процесса производства и  различных его показателей наряду с предельными продуктами, 

     (верхние  черточки обозначают фиксированные  значения переменных), показывающими  величины дополнительных доходов,  получаемых при использовании  дополнительных количеств затрат, применяются понятия средних  продуктов. 

     Средним продуктом по k-му виду затрат называется объем выпуска, приходящийся на единицу затрат k-го вида при фиксированном уровне затрат других видов: 

     Зафиксируем затраты второго вида на некотором  уровне и сравним графики трех функций:  

      Рис.1. Кривые выпуска.

     Пусть график функции  имеет три критические точки (как это показано на рис.1 ): - точка перегиба, - точка касания с лучом из начала координат,        - точка максимума. Эти точки соответствуют трем стадиям производства. Первая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством предельного продукта над средним: Следовательно, на этой стадии осуществление дополнительных затрат целесообразно. Вторая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством среднего продукта над предельным:  (дополнительные затраты не целесообразны). На третьей стадии и дополнительные затраты приводят к обратному эффекту. Это объясняется тем, что является оптимальным объемом затрат и дальнейшее увеличение их неразумно.

     Для конкретных наименований ресурсов средние  и предельные величины приобретают  смысл конкретных экономических  показателей. Рассмотрим, например, функцию  Кобба-Дугласа (1) , где  - капитал, а - труд. Средние продукты  
 

     имеют смысл соответственно средней производительности труда и средней производительности капитала (средней фондоотдачи). Видно, что средняя производительность труда убывает с ростом трудовых ресурсов. Это и понятно, так как  производственные фонды (K) остаются неизменными, и потому вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда. Аналогичное рассуждение верно и для фондоотдачи как функции от капитала.  

     Для функции (1) предельные продукты 
 

     имеют смысл соответственно предельной производительности труда и предельной производительности капитала (предельной фондоотдачи). В  микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда  равна заработной плате (цене труда), а предельная производительность капитала - рентным платежам (цене услуг капитальных благ). Из условия следует, что при неизменных основных фондах (трудовых затратах) увеличение численности работающих (объема основных фондов) приводит к падению предельной производительности труда (предельной фондоотдачи). Видно, что для функции Кобба-Дугласа предельные продукты пропорциональны средним продуктам и меньше их.

     2.7. Изокванта и ее типы

     При моделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезности различных комбинаций потребительских  благ графически отображается с помощью  кривой безразличия.

     В экономико-математических моделях  производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые  затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

       

     Рис.2. Изокванты, соответствующие  различному объему производства  

     На  рис. 2 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K ₁ единиц капитала и L ₁ единиц труда или K ₂ единиц капитала и L ₂ единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y ₂ = 300.

     В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество _{, называемое} изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство  

     Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются  равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с  этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение  вдоль любой изокванты  

     Отсюда  коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:  

     Полученное  соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно  сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить  взаимную замену ресурсов в эффективных  технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции