Методы обнаружение гетероскедастичности

     В качестве зависимой переменной для изучения гетероскедастичности выбирается абсолютная величина остатков, т. е. осуществляется регрессия 

     где – случайный член.

     В качестве функций f обычно выбираются функции вида . Регрессия осуществляется при разных значениях γ, затем выбирается то значение, при котором коэффициент β оказывается наиболее значимым, т. е. имеет наибольшее значение t-статистики. Изменяя значения γ, можно построить различные регрессии. Обычно γ = …, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, … . Статистическая значимость коэффициента β в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности. Если для нескольких регрессий коэффициент β оказывается статистически значимым, то при определении характера зависимости обычно ориентируются на лучшую из них. 
 
 
 
 
 
 

АНАЛИЗ  ДАННЫХ ПО РАСХОДАМ НА ПРЕДМЕТ НАЛИЧИЯ  ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

Задача

     Выполнить исследование по приведенным исходным данным, основанным на статистике США  за годы с 1959-1983. Проанализировать данные на гетероскедастичность и автокорреляцию. Определить наилучшую модель из 3: линейной, степенной и гиперболической. Сделать выводы о модели.

     Данные  для расчета необходимо взять  из табл. 1:

     Таблица 1

 

     Решение:

1. Найдем линейную модель в виде . Оценки для α и β определяем с помощью метода наименьших квадратов по формулам:

 
 

     Для этого найдем:

     Среднее значение x: 

     Среднее значение y: 

     Ковариацию  x и y: 

     Вариацию  x: 

     Вариацию  y: 

     Тогда, 
 

     Полученная  мною линейная модель имеет вид: 

     В результате выполнения регрессионного анализа мною получено:

     TSS – полная сумма квадратов: 

     RSS – остаточная сумма квадратов: 

     ESS – оцененная модель суммы квадратов: 

     Условия правильности моих вычислений на данном этапе проверим по формуле:

TSS = ESS + RSS

49901,17 = 46820,32 + 3080,849

     Вычислим  коэффициент корреляции и коэффициент  детерминации: 
 

     Критерием правильности решения задачи является: 

0,94 = 0,94

     Данные  параметры характеризуют хорошую  линейную зависимость между текущими расходами и совокупными личными расходами на имеющихся статистических данных.

     Найдем  среднюю ошибку аппроксимации: 

     где

     Для наглядности представим результаты графически. 

     Примечание. Прямая линия – уравнение регрессии, а точки – статистические данные.

     Определим доверительный интервал для параметров α и β: 
 

     Здесь – квантиль t-распределения Стьюдента с (N – p) степенями свободы; p – число параметров, в моем случае он равен 2; и – оценки исследуемых параметров, полученные ранее с использованием метода наименьших квадратов; и – несмещенные оценки для дисперсий случайных величин α и β; γ – уровень значимости. 
 

     Квантиль  t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

     Для γ = 1%, = 2,807

     Для γ = 5%, = 2,069

     Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

     42,787 < α < 65,132

     0,332 < β < 0,449

     Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

     45,724 < α < 62,195

     0,347 < β < 0,434

2. Для построения степенной модели вида необходимо привести ее к линейному виду с помощью следующего преобразования с использованием логарифмической функции: . Производя замены Y = lgy, X = lgx, A = lgα и B = β получим уравнение , которое является уже линейным уравнением и его можно решить по аналогии с примером 1.

     Вычислим параметры линейной регрессии: 
 

     Для этого найдем:

     Среднее значение X: 

     Среднее значение Y: 

     Ковариацию  X и Y: 

     Вариацию  X: 

     Вариацию  Y: 

     Тогда, 
 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид:

 в  логарифмах

     Для дальнейшего анализа степенной  функции необходимо выполнить обратное преобразование, то есть потенцирование полученного уравнения регрессии: 

     Определим:

     TSS – полная сумма квадратов: 

     RSS – остаточная сумма квадратов: 

     ESS – оцененная модель суммы квадратов: 

     Вычислим  коэффициент корреляции и коэффициент  детерминации: 
 

     Критерием правильности решения задачи является: 

0,96 = 0,96

     Найдем  среднюю ошибку аппроксимации: 

     Определим доверительный интервал для параметров α и β: 
 
 
 

     Квантиль  t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

     Для γ = 1%, = 2,807

     Для γ = 5%, = 2,069

     Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

     -22,669 < α < 24,158

     -18,812 < β < 20,031

     Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

     -16,513 < α < 18,002

     -13,706 < β < 14,925

3. Для построения гиперболической модели вида необходимо привести ее к линейному виду с помощью преобразования . Производя замены Y = y, X = , A = α и B = β получим уравнение , которое является уже линейным уравнением и его можно решить по аналогии с примером 2.

     Определяем параметры линейной регрессии: 
 

     Для этого найдем:

     Среднее значение X: 

     Среднее значение Y: 

     Ковариацию  X и Y: 

     Вариацию  X: 

     Вариацию  Y: 

     Тогда, 
 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: 

     Для дальнейшего анализа гиперболической  функции необходимо выполнить обратное преобразование, то есть: 

     Определим:

     TSS – полная сумма квадратов: 

     RSS – остаточная сумма квадратов: 

     ESS – оцененная модель суммы квадратов: 

     Вычислим  коэффициент корреляции и коэффициент  детерминации: 
 

     Критерием правильности решения задачи является: 

0,96 = 0,96

     Найдем  среднюю ошибку аппроксимации: 

     Определим доверительный интервал для параметров α и β: 
 
 
 

     Квантиль  t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

     Для γ = 1%, = 2,807

     Для γ = 5%, = 2,069

     Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

     203,307 < α < 230,686

     -12854,8 < β < -10042

     Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

     206,906 < α < 227,087

     -12485,1 < β < -10411,8

     При определении средней ошибки аппроксимации, я получила, что у линейной функции  = 9,4%, у степенной функции = 6,2%, у гиперболической функции = 5,2%. Отсюда видно, что наименьшая средняя ошибка аппроксимации равняется = 5,2% у гиперболической функции, следовательно наилучшей моделью будет гиперболическая функция.

     Тест  ранговой корреляции Спирмена.

     При проверке полученной модели на возможную  гетероскедастичность данных воспользуемся  тестом ранговой корреляции Спирмена. Значения и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Определяем коэффициент ранговой корреляции: 
 

     где — разность между рангами значений и (); а определяется по формуле .

     Коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией . Тогда соответствующая тестовая статистика равна: 

     Нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена при уровне значимости в 5%, если ξ превысит 1,96, и при уровне значимости в 1%, если ξ превысит 2,58. Тестовая статистика составляет 0,24, что меньше, чем 1,96. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. Этим я подтверждаю факт наличия у данных свойства гомоскедастичности.

     Тест  Голдфелда – Квандта.

     Все n наблюдений упорядочиваются по величине X по возрастающей. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на две подвыборки размерностей k, (N – 2k). Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для второй подвыборки (k последних наблюдений).

     N = 25

     k = 11

     Для сравнения соответствующих дисперсий  строится следующая F-статистика: 

     где сумма квадратов остатков RSS₁ для первой подвыборки: RSS₁ = 428,699; сумма квадратов остатков RSS₂ для второй подвыборки: RSS₂ = 2361,268.