Методы обнаружение гетероскедастичности

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ЭКОНОМЕТРИКИ…………………………………...4

ГЛАВА 2. СУЩНОСТЬ И ПОСЛЕДСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ………………………………………………..6

ГЛАВА 3. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ……………..9

3.1. Тест ранговой корреляции Спирмена……………………………………9

3.2. Тест Голдфелда – Квандта…………………………………………………9

3.3. Тест Глейзера………………………………………………………………11

АНАЛИЗ  ДАННЫХ ПО РАСХОДАМ НА ПРЕДМЕТ НАЛИЧИЯ  ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ………………………………………………12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...26

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………….27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

     При проведении регрессионного анализа определяются следующие этапы: определение коэффициентов корреляции и детерминации, средней ошибки отклонения и наилучшей модели, анализ данных на гетероскедастичность и автокорреляцию и т. д. На практике следует обратить серьезное внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений моделей. Свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса – Маркова), т. к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами. При этом существуют другие методы определения более точных оценок. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений: дисперсия случайных отклонений постоянна. для любых наблюдений i и j.

     Выполнимость  данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

     В данной курсовой анализируется суть гетероскедастичности, ее причины и последствия, а также приводятся способы ее обнаружения. 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ЭКОНОМЕТРИКИ

     Постоянно усложняющиеся экономические процессы потребовали создания и совершенствования  особых методов изучения и анализа. Широкое распространение получило использование моделирования и  количественного анализа. На этом этапе  выделилось и сформировалось одно из направлений экономических исследований – эконометрика.

     Эконометрика  – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических  явлений. Эконометрика позволяет найти  количественное подтверждение либо опровержение того или иного экономического закона либо гипотезы. Одним из важнейших  направлений эконометрики является построение прогнозов по различным  экономическим показателям.

     Эконометрика  как научная дисциплина зародилась и получила развитие на основе слияния  экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистик.

     Основные  результаты экономической теории носят  качественный характер, а эконометрика вносит в них эмпирическое содержание. Математическая экономика выражает экономические законы в виде математических соотношений, а эконометрика осуществляет опытную проверку этих законов. Экономическая статистика дает информационное обеспечение исследуемого процесса в виде исходных (обработанных) статистических данных и экономических показателей, а эконометрика, используя традиционные математико-статистические и специально разработанные методы, проводит анализ количественных взаимосвязей между этими показателями.

     К основным задачам эконометрики можно  отнести следующие:

• Построение эконометрических моделей, т. е. представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа.
• Оценка параметров построенной модели, делающих выбранную модель наиболее адекватной реальным данным.
• Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом.
• Использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей, прогнозирования и предсказания, а также для осмысленного проведения экономической политики.

     Развитие  компьютерных систем и эконометрических пакетов, совершенствование методов  анализа сделали эконометрику мощнейшим  инструментом экономических исследований. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2. СУЩНОСТЬ И ПОСЛЕДСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

     При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных  отклонений может вызвать определенное недоумение в силу того, что при  каждом i-м наблюдении имеется единственное значение . Откуда же появляется разброс? Дело в том, что при рассмотрении выборочных данных имеется дело с конкретными реализациями зависимой переменной и соответственно с определенными случайными отклонениями Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую – при других.

     Однако  на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания  считать, что вероятностные распределения  случайных отклонений при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми – при других, но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления и его последствия.

     Динамика  изменения дисперсий (распределений) отклонений проиллюстрирована на рис. 1. При гомоскедастичности дисперсии  ε_i постоянны, а при гетероскедастичности дисперсии ε_i изменяются (на данном рисунке – увеличиваются).

     

     Рис. 1.

     Проблема  гетероскедастичности в большей  степени характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается  при рассмотрении временных рядов. Это можно объяснить следующим  образом. При перекрестных данных учитываются  экономические субъекты (потребители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны и т. п.), имеющие различные доходы, размеры, потребности и т. д. Но в  этом случае возможны проблемы, связанные  с эффектом масштаба. Во временных  рядах обычно рассматриваются одни и те же показатели в различные  моменты времени (например, ВНП, чистый экспорт, темпы инфляции и т. д. в  определенном регионе за определенный период времени). Однако при увеличении (уменьшении) рассматриваемых показателей с течением времени может возникнуть проблема гетероскедастичности.

     При рассмотрении классической линейной регрессионной  модели МНК дает наилучшие линейные несмещенные оценки лишь при выполнении ряда предпосылок, одной из которых  является постоянство дисперсии  отклонений (гомоскедастичность): для всех наблюдений i, i = 1, 2,…, n.

     При невыполнимости данной предпосылки (при  гетероскедастичности) последствия  применения МНК будут следующими:

1. Оценки коэффициентов по-прежнему остаются несмещенными и линейными.
2. Оценки не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.
3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением.
4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися.

 
 
 
 
 
 
 

     ГЛАВА 3. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

     3.1. Тест ранговой корреляции Спирмена

     При использовании данного теста  предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшатся с увеличением значения X. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений и значения будут коррелированы. Значения и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции: 

     где — разность между рангами значений и ().

     Если  соответствующий коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, т. е. гетероскедастичность отсутствует, то коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией .

     Соответствующая тестовая статистика равна: 

     Следовательно, если значение тестовой статистики, вычисленное по вышеприведенной формуле, превышает 1,96 и 2,58 при уровнях значимости в 5% и 1% соответственно (определяемое по таблице критических точек распределения Стьюдента), то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции, а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности. В противном случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

3.2. Тест Голдфелда – Квандта

     В данном случае предполагается, что  стандартное отклонение пропорционально значению переменной X в этом наблюдении. Предполагается, что  имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

     Тест  Голдфелда – Квандта состоит  в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X по возрастающей.
2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на две подвыборки размерностей k, (N – 2k), k соответственно.
3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для второй подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии (сумма квадратов остатков RSS₁) по первой подвыборке будет существенно меньше дисперсии регрессии (суммы квадратов остатков RSS₂) по второй подвыборке.
4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

 

Здесь (k – m – 1) – число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m – количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).

5. Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности  отклоняется.
6. Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности  принимается.

     Естественным  является вопрос, какими должны быть размеры  подвыборок для принятия обоснованных решений. Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают следующие пропорции: n = 30, k = 11; n = 60, k = 22.

     Этот  же тест может быть использован при  предположении об обратной пропорциональности между  и значениями объясняющей переменной. При этом F-статистика примет вид: (если X убывает).

     3.3. Тест Глейзера

     Тест  Глейзера предполагает анализ зависимостей между дисперсиями отклонений и значениями переменной :