Виды потенциалов и их свойства

найти функцию и, гармоническую в области Т, ограниченной контуром С, и удов-летворяющую на С граничным условиям

                                     

или

Аналогично ставятся внешние краевые задачи.

Будем искать решение внутренней первой краевой задачи в виде потенциала двойного слоя

При любом выборе v(P) функция W(M) удовлетворяет уравнению Лапласа внутри С. Функция W(M) разрывна на контуре С. Для выполнения граничного условия, очевидно, надо, чтобы

Принимая во внимание формулы (32), получаем уравнение для определения функции v(P)

                                              

                                              (41)

Если обозначить через и дуги контура С, соответствующие точкам и Р, то урав-нение (1) можно переписать в виде

                                             

                                              (42)

где L — длина контура С и

                                          

                                             (43)

— ядро этого интегрального уравнения, являющегося интегральным уравнением типа Фредгольма второго рода. Для внешней задачи получается аналогичное уравнение

                                          

                                             (44)                                      

Для второй краевой задачи получаются уравнения

                 

                     (45)

                     

                    (46)

 

где

                                          

                                           (47)

если ее решение искать в виде потенциала простого слоя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры :

 

Первая краевая задача для круга.

 

Если контур С является окружностью радиуса R, то внутренняя нормаль в точке Р направлена по диаметру и

так как есть угол (рис. 1).

                                                           

                                                      (Рис. 1.)

Интегральное уравнение для функции v принимает вид

                                             

                                                (1)

Нетрудно видеть, что его решением является функция

                                                              

                                                        (2)

где А — некоторая постоянная, подлежащая определению. Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (1), имеем:

откуда находим для постоянной А выражение через заданную функцию

Таким образом,

                                                      

                                            (3)

является решением интегрального уравнения (1).

Соответствующий потенциал двойного слоя равен

Преобразуем правую часть предыдущей формулы, предполагая, что М лежит внутри С:

                   

                  (4)

Из (рис. 2) видно, что

                                                              

                                                   (Рис. 2.)

 

 

 

       

       (5)

 

так как

Подставляя выражение (5) для К в формулу (4), получаем интеграл Пуассона дающей решение первой краевой задачи для круга.

                                    

                                       (6)

Проведенные в этом пункте рассуждения показывают, что при любой непрерывной функции формула (6) определяет гармоническую функцию, непрерывно примыкающую к граничным значениям .

Если функция f кусочно-непрерывна, то в силу свойства потенциала двойного слоя функция W также непрерывна во всех точках непрерывности . Из ограниченности функции

следует ограниченность функции (6)

так как

                                         

                                                (7)

 

Первая краевая задача для полупространства.

 

Найти гармоническую функцию, непрерывную всюду в области принимающую на границе z = 0 заданное значение

Будем искать решение этой задачи в виде потенциала двойного слоя

В данном случае

и ядро интегрального уравнения

Таким образом, плотность потенциала двойного слоя

и искомая функция равна

Нетрудно показать, что равномерно стремится к нулю при 

если этим свойством обладает функция f.

 

 

 

 

Заключение:

 

Таким образом, в данной курсовой работе были рассмотрены виды потенциалов и их функции.

Потенциалы имеют существенное значение с точки зрения непосредственных при-

ложений в физике, а также с точки зрения развития методов краевых задач. Не следует смешивать потенциал с энергией силового поля. Термин потенциал может употребляться

также, как и силовая фунцкия в механике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

 

1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической  физики.(5-е изд.).-М.: Наука,

1977 г. (743 с.)

 

2. В.П.Михайлов. Дифференциальные уравнения в  частных производных. –М.: Наука,

1976 г. (391 с.)

 

3. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные  и квазилинейные урав-

нения параболического типа. –М.:Наука, 1967 г. (736 с.)

 

4. И.Г.Араманович, В.И.Левин. Уравнения математической  физики.(2-е изд.).-М.: Наука,

1969 г. (288 с.)

 

5. М.М. Смирнов. Задачи по уравнениям математической  физики. (6-е изд.). –М.: Наука,

1973 г. (128 с.)

 

6. С.Л.Соболев. Уравнения математической физики (4-е изд.).-М.:Наука. 1966 г. (293 с.)