Виды потенциалов и их свойства

Содержание

 

Введение 3

Глава 1. Виды потенциалов и их свойства 3

§1. Объемный потенциал……………………………………………………………………...3

§2. Плоская задача.Логарифмический потенциал.…………………………………….........4

§3. Несобственные интегралы…………………………………………………………….......5

§4. Первые производные объемного потенциала…………………………………………..10

§5. Вторые производные объемного потенциала…………………………………………..12

§6. Поверхностные потенциалы…………………………………………………………….14

§7. Разрыв потенциала двойного слоя…………………………………………………........16

§8. Свойства потенциала простого слоя……………………………………………………19

Глава 2. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач….......21

 

   §1. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач.........................21

 

Примеры………………………………………………………………………………………..23

 

Заключение…………………………………………………………………………………….25

 

Список используемой литературы………………………………………………………….26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Определение потенциала.

 

Функция представляющая потенциал поля единичной массы (заряда), помещенной в точке М0(ξ,η,ζ) является решением уравнения Лапласа, зависящим от параметров ξ,η,ζ. Интегралы от этой фунции по параметрам называются потенциалами и имеют существенное значение с точки зрения непосредственных приложений в физике, а также и с точки зрения развития методов решения краевых задач.

 

                                                           Глава 1. Виды потенциалов.

 

§1. Объемный потенциал.

 

  Пусть в некоторой точке М0(ξ,η,ζ) помещена масса m0. По закону всемирного тяготения на массу m, помещенную в точке М(х, у, z), действует сила притяжения

                                                                     

                                                       (1)

где — единичный вектор в направлении a γ — гравитационная постоянная. Выбирая систему единиц так, чтобы γ = 1 и полагая m = 1, получим:

Проекции этой силы на координатные оси будут:

 

                                                   

                                                (2)

где α,β,γ — углы, образованные вектором F с координатными осями.

Введем функцию и, называемую потенциалом силового поля и определяемую равенством

или                                           

 

В нашем случае

Потенциал поля п материальных точек вследствие суперпозиции

силовых полей будет выражаться формулой

Перейдем к случаю непрерывного распределения массы. Пусть дано тело Т с плотностью р(ξ,η,ζ). Определим потенциал этого тела в точке М(х, у, z). Для этого разобьем тело Т на достаточно мелкие части . Сделаем естественное предположе-

ние, что действие элемента эквивалентно действию его массы, сосредоточенной в некоторой «средней» точке объема ; тогда для компоненты силы, действующей на точку М, получим следующее выражение:

Интегрирование по всему объему Т дает компоненту полной силы притяжения точки М телом Т

                                                          

                                                   (3)

Потенциал в точке М будет определяться формулой

                                                           

                                                        (4)

Если точка М лежит вне тела, то в этом можно убедиться непосредственно дифференцированием под знаком интеграла.

Аналогично вычисляются и производные высших порядков Очевидно, что потенциал u(М) вне тела Т удовлетворяет уравнению Лапласа. В дальнейшем, не стремясь

к построению теории в наиболее общих условиях, мы будем пользоваться указанными выше свойствами потенциалов и сформулируем ряд теорем при условии, что р — ограниченная функция (подразумевая ее интегрируемость). Если точка М лежит внутри области Т, нельзя утверждать, что без дополнительного исследования, ко-

торое и будет дано ниже.

 

§2. Плоская задача.Логарифмический потенциал.

Рассмотрим распределение масс в пространстве, зависящее лишь от двух координат (х, у). В любой плоскости z = const потенциал, очевидно, принимает одно и то же значение, поэтому достаточно исследовать потенциал точки (х, у), лежащей в плоскости z = 0. Определим потенциал однородной бесконечной прямой L. Направим ось z вдоль этой прямой. Пусть погонная плотность (т. е. масса единицы длины) равна μ,. Сила притяжения элементом точки Р(х, 0) (рис.1)

                                                   

                                      (Рис. 1.)

 и ее составляющая по оси х равны, соответственно,

Отсюда

Если Р(х, у) —произвольная точка, то сила притяжения точки линией L будет, очевидно, направлена вдоль и равна по величине

где

Потенциал этой силы называется логарифмическим потенциалом и равен

                                                                 

                                                               (5)

в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.

Логарифмический потенциал является решением уравнения Лапласа с двумя независимы- ми переменными, обладающим круговой симметрией вокруг полюса в точке р = 0, в кото-

рой он обращается в бесконечность.

Таким образом потенциал однородной прямой дает плоское поле и выражается формулой (5). Представление потенциала в виде интеграла было получено нами лишь для ограничейных объемов. Отметим, что в отличие от объемного потенциала логарифми -ческий потенциал не обращается в нуль на бесконечности, а имеет там логарифмическую особенность.

Вычислим теперь компоненты силы притяжения точки Р (рис. 2)

                                             

                                            (Рис. 2.)

 

Если имеется несколько точек (бесконечных прямых -с рас- пределенной вдоль них массой), то в силу принципа суперпозиции силовых полей потенциалы точек (линий) будут складываться.

В случае области S с непрерывно-распределенной плотностью  μ(ξ,η) компоненты силы притяжения точки Р выразятся двойными интегралами:

                               

                                (6)

и потенциал будет равен

                                

                                   (7)

 

что нетрудно проверить дифференцированием для точек, лежащих вне S. Если же точка Р лежит в области S, то необходимо провести дополнительное исследование.

 

§3.Несобственные интегралы.

Потенциалы и компоненты силы притяжения представляются с помощью интегралов, у которых подынтегральные функции обращаются в бесконечность, если мы рассматриваем их значения в точках, находящихся в области, содержащей притягивающие массы.

Как известно, если подынтегральная функция обращается в некоторой точке области интегрирования в бесконечность, то интеграл нельзя определять как предел интегральной суммы. Действительно, в этом случае интегральная сумма не имеет предела, так как слагаемое, относящееся к элементарному объему, содержащему особую точку, может как угодно сильно менять величину суммы, в зависимости от выбора промежуточной точки. Интегралы от подобных функций определяются как интегралы несобственные.

Пусть в области Т задана функция F(x, у, z), обращающаяся в бесконечность в некоторой точке М0(х0, у0, z0). Рассмотрим определенный интеграл по области Т — Кε, где Кε — некоторая окрестность точки М0 диаметра, не превосходящего ε.

Если при произвольном стягивании области к точке М0 последовательность интегралов

имеет предел, не зависящий от выбора областей , то этот предел называется несобственным интегралом от функции F(x, у, z) по области Т и обозначается, как обычно,

Если существует хотя бы одна последовательность областей , такая, что при  существует предел , а для других последовательностей этот предел имеет другие значения, или даже вообще не существует, то предел называется условно сходящимся несобственным интегралом. Ясно, что при рассмотрении условно сходящегося несобственного интеграла нужно указывать ту последовательность областей , по которой определяется этот интеграл.

Мы ограничимся здесь рассмотрением того случая, когда подынтегральная функция имеет особенность в изолированной точке. Исследуем сходимость интегралов типа

                                                                 

                                                              (8)

где С и α > 0 — некоторые постоянные,

М0— точка области Т. Не ограничивая общности, можно считать, что Т есть шар радиуса R с центром в точке М0. Возьмем в качестве области шар радиуса ъп с центром в точке М0 и будем искать предел последовательности интегралов

Переход к пределу при еп, стремящемся к нулю, показывает, что при а < 3 предел существует, при а 3 предела не существует.

Покажем, что если функция F(x, у, z) неотрицательна и существует предел

где — шар радиуса εn с центром в точке М0, то существует предел интегралов и при любом выборе последовательности областей , стягивающихся к точке М, и значение этого предела не зависит от формы области . Любую область можно заключить между двумя сферами и , радиусы которых и стремятся к нулю

вместе с . В силу положительности подынтегральной функции

Отсюда видно, что

так как пределы крайних интегралов существуют и равны этому числу.

Таким образом, в случае трех независимых переменных несобственный интеграл

                                                               

                                                                  (8)

существует, если а < 3, и не существует, если а 3.

Для другого числа независимых переменных критическое значение α, определяющее границы сходимости интегралов типа (8), равно числу измерений; так, например, для двух независимых переменных интеграл

Остановимся на признаке сходимости несобственных интегралов. Докажем, что

для сходимости несобственного интеграла

                                                  

                                                        (9)

достаточно, чтобы существовала такая функция , для которой несобственный интеграл по области Т сходится, и чтобы имело место неравенство

                                                       

                                                   (10)

Рассмотрим некоторую последовательность областей , содержащих особую точку М0. В силу сходимости последовательности интегралов от функции для всякого ε > 0 существует такое , что

коль скоро . Так как F является мажорантной функцией для F(x, у, z), то можно написать:

                        

                         (10’)

если . Выполнение условия (10') в силу признака сходимости Коши является достаточным для сходимости последовательности

к некоторому пределу

Нетрудно видеть, что этот предел не будет зависеть от формы областей . Тем самым существование несобственного интеграла (9) доказано.

Если же для некоторой функции F(x, у, z) можно указать такую положительную функцию , что F(x, у, z) > , причем несобственный интеграл от по области Т расходится, то несобственный интеграл (9) будет, очевидно, расходиться.

Следствие: если для некоторой функции F(M, P), обращающейся в бесконечность при Р = М, имеет место неравенство

то несобственный интеграл по области T содержащей точку М,

сходится.

Из теории собственных интегралов, зависящих от параметров, известно, что непрерывность подынтегральной функции по параметрам и независимым переменным является достаточным условием непрерывности самого интеграла как функции параметров. Для несобственных интегралов непрерывность подынтегральной функции не имеет места и поэтому указанный выше критерий неприменим. Установим критерий непрерывности несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Будем рассматривать несобственные интегралы

                                               

                                                     (11)

где F(P, M)—функция, обращающаяся в бесконечность при совпадении аргументов и непрерывная по М, a f(P)—ограниченная функция.