Виды потенциалов и их свойства

Интеграл (11) называется равномерно сходящимся в точке М0, если для любого

ε > 0 можно указать такое δ(ε), что имеет место неравенство

для любой точки М, расстояние которой от М0 меньше δ(ε), и для любой области содержащей точку М0 и имеющей диаметр .

Докажем, что интеграл

равномерно сходящийся в точке М0, есть непрерывная функция в этой точке М0. Мы должны доказать, что для любого ε можно указать такое δ(ε), что

при

Выберем внутри области Т некоторую область , содержащую точку М0 (рис. 3.), и

разобьем интеграл на два слагаемых    

                                                                                                                  (Рис. 3.)

где интеграл V1 берется по области , V2 — по области . В дальнейшем

мы более точно определим размеры области . Рассмотрим неравенство

и покажем, что каждое из слагаемых, стоящих справа, может быть сделано меньше ε/З при достаточно малом . Выбирая область внутри сферы радиуса δ(ε/З), будем иметь:

Существование такого δ' вытекает из условия равномерной сходимости интеграла (11) в точке М0. Выбор области определяет область .

Так как точка М0 лежит вне области , то интеграл является непрерывной функцией в этой точке.

Отсюда следует существование такого δ"(ε/З), что

Полагая

получим:

что и означает непрерывность равномерно сходящегося интеграла. Отметим, что полученные результаты справедливы не только для интегралов по объему, но также и для интегралов по поверхностям и линиям. Это обстоятельство будет использовано нами в дальнейшем.

Рассмотрим потенциал

                                                      

                                                       (12)

и компоненты силы притяжения

                                           

                                          (13)

 

в точках, лежащих внутри притягивающего тела Т. Несобственные интегралы (12) и (13) являются сходящимися, если плотность р(М) ограничена |р(М)|<С Для потенциала V(M) это очевидно, так как

Для компонент силы притяжения это следует из неравенства

так как

Для иллюстрации понятия равномерной сходимости несобственных интегралов покажем, что интегралы (12) и (13) являются непрерывными функциями.

Для этого надо доказать, что интегралы (12) и (13) равномерно сходятся во всякой точке М0.

Вычислим модуль интеграла

где — шар радиуса δ с центром в точке М0, содержащий область Тδ. Однако

вычисление этого интеграла по области с центром в точке М0 — неудобно. Для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к сферической системе коор-

динат с центром в точке М. Очевидно, что

где — шар радиуса 2δ с центром в точке М. Если нам задано некоторое ε > 0, то выбирая

мы убедимся в равномерной сходимости интеграла V.

Повторяя аналогичное рассуждение для интеграла

получаем:

если

Таким образом, потенциал V и компоненты силы притяжения X, У, Z являются непрерывными функциями во всем пространстве.

 

§4.Первые производные объемного потенциала.

 

Функции, стоящие под знаком интегралов

являются производными по соответствующим переменным от функции, стоящей под знаком интегралов

Если для функции V законно дифференцирование под знаком интеграла, то

                                                    

                                          (14)

т. е. V является потенциалом поля, компоненты которого равны X. У, Z.

Если точка М лежит вне области Т, то функция

непрерывна по обоим аргументам М (х, у, z) и P(ξ,η,ζ). Следовательно, в этом случае дифференцирование под знаком интеграла V законно.

Производные более высокого порядка можно также енчислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла всюду вне тела Т. Отсюда в силу леммы главы следует, что потенциал вне притягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа

Докажем, что вычисление производных потенциала V можно производить путем дифференцирования под знаком интеграла и в том случае, когда точка М лежит внутри тела Т.

При доказательстве мы будем пользоваться только ограниченностью функции

р(х, у, z)(|p(x, у, z)|<zC), не предполагая ее непрерывности, откуда будет следовать, что функция V(x, у, z) дифференцируема и в точках границы, которые можно рассматривать как точки разрыва функции р(х, у, z), равной нулю вне тела.

Покажем, что для любого е можно найти такое δ(ε), что

если

Заключим точку М0 в достаточно малый шар , размеры которого мы уточним в дальнейшем, и разобьем V на два слагаемых

где V1 и V2 соответствуют интегрированию по объему и дополнительному объему Тогда

При любых фиксированных размерах области T1,

так как точка М0 лежит вне области Т2.

Полагая , оценим

и покажем, что каждое из слагаемых можно сделать меньше чем ε/3. В самом деле,

                  

                       (15)

так как Рассмотрим последнее слагаемое

где

Стороны треугольника равны Отсюда следует, что

Поэтому

так как для любых чисел а и b

При этом

где — шар радиуса с центром в точке .

При соответствующем выборе можно обеспечить неравенство

                                                  

                                                  (16)

Выбирая из условия (16), мы удовлетворим обоим неравенствам— (15) и (16). Фиксируем область , а тем самым и область . Равенство (14) в применении к выбранной области T2 означает, что для любого ε можно указать такое , что

коль скоро . Выбирая, наконец, , мы получим:

Тем самым доказано, что существует производная , равная

                                                                

                                                                    (17)

Формулы

не требуют специального доказательства.

Таким образом доказано, что дифференцирование под знаком интеграла законно и что компоненты силового поля X, У, Z являются компонентами grad V.

 

§5.Вторые производные объемного потенциала.

 

Несобственный интеграл

                             

                        (18)

не сходится абсолютно для внутренних точек Р тела Т. В этом случае мажоранта для подынтегральной функции имеет вид

Установим формулы, по которым вычисляются внутри Т вторые производные потенциала V в предположении непрерывности и непрерывной дифференцируемости плотности р(х, у, z) в окрестности исследуемых точек. В частности, исследование, проводимое ниже, не будет применимо к граничным точкам, где, как правило, имеет место разрыв плотности.

Представим потенциал V в виде суммы двух слагаемых

относящихся к областям и , где — шар радиуса δ с центром в рассматриваемой точке М0, внутри которого функция ρ дифференцируема.

Вторую производную от V2 можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, так как точка М0 лежит вне области

Первая производная V1 no x равна

                               

                          (19)

так как

 

Преобразуем интеграл (19), пользуясь формулой Остроградского

где — поверхность сферы, ограничивающая объем , α — угол между внешней нормалью к поверхности и осью х. Первое слагаемое является дифференцируемой функцией в точке М0, так как М0 лежит вне . Второе слагаемое в окрестности точки М0 является также дифференцируемой функцией, так как функция ρ имеет производную в . Отсюда следует, что в точке М0 существует вторая производная функции . Перейдем

к ее вычислению:

Для второго слагаемого в точке М0 имеет место следующая оценка:

                       

                          (20)

Применяя к поверхностному интегралу теорему о среднем, получим:

Здесь р* — значение плотности в некоторой точке ,

и, кроме того,

Переход к пределу при дает:

                         

                              (21)

Равенство

верно при всяком и левая часть его не зависит от , поэтому

                 

                               (22)

Из существования второй производной доказанного выше, следует существование

                             

                                               (23)

Последний интеграл получен при специальном способе предельного перехода, когда стягиваемые к точке М0 области являются шарами, что и отмечается чертой над

интегралом в формуле (23). Изменение формы этих областей, вообще говоря, может менять значение предела; интеграл (23) следует рассматривать как условно сходящийся. Таким образом,

                           

                                                      (24)

Отсюда видно, что вычисление вторых производных потенциала при помощи формального дифференцирования под знаком интеграла привело бы нас к неверному результату.

Для производных и получаются аналогичные выражения. Подставляя значения всех трех производных в выражение для оператора Лапласа, найдем:

       

                             (25)

так как 1/R—.гармоническая функция.

Таким образом, объемный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

и уравнению Лапласа

Неоднородное уравнение

                                                         

                                                                        (25’)

при условии дифференцируемости f внутри некоторой области Т имеет частное решение

Отсюда следует, в частности, что решение краевой задачи для неоднородного уравнения (25') можно свести к решению аналогичной краевой задачи для уравнения Лапласа ,

если искомую функцию представить в виде суммы .

 

§6.Поверхностные потенциалы.

 

Как показывает основная формула Грина

любая гармоническая функция может быть представлена с помощью интегралов, являющихся поверхностными потенциалами.

Рассмотрим поле, создаваемое массами, распределенными на поверхности, и определим потенциал этого поля. Поверхностной плотностью в точке Р поверхности называют предел отношения массы, находящейся на некотором элементе поверхности , содержащем точку Р, к его площади при стягивании к точке Р. Потенциал этих масс представляется поверхностным интегралом

                                            

                                                      (26)

называемым потенциалом простого слоя.

Другим типом поверхностного потенциала является потенциал двойного слоя. Перейдем к его определению.

Рассмотрим диполь, образованный двумя массами и , расположенными в точках и на расстоянии (рис. 4).

                                          

                                      (Рис. 4.)

Произведение диполя. Потенциал диполя в некоторой точке М (х, у, z) равен

где и — расстоянияточки М от точек и

Если мало по сравнению с расстоянием до точки М , то, пользуясь теоремой о конечных приращениях, можно написать:

где производная берется по направлению от отталкивающей массы к притягивающей и R — расстояние от точки М (х, у, z) до некоторой средней точки отрезка

Вычислим производнпо направлению

где вектор направлен от диполя к фиксированной точке М, а φ есть угол между вектором и вектором . Таким образом, потенциал диполя равен

                                           

                                                                           (27)

где N- момент диполя.

Пусть на двух поверхностях и ' , находящихся друг от друга на малом расстоянии δ, распределены массы таким образом, что масса каждого элемента поверхности ' равна