Виды потенциалов и их свойства

по величине и противоположна по знаку массе соответствующего элемента поверхности . Обозначим через n общую нормаль к поверхностям и ', направленную от отталки-вающих масс к притягивающим. Переходя к пределу при δ—>0, получим двойной слой как совокупность двух простых слоев с взаимно противоположными плотностями, нахо-дящимися друг от друга на малом расстоянии. Если v — поверхностная плотность мо-

мента, то момент элемента поверхности будет равен

для потенциала элемента do в точке М(х, у, z) мы будем иметь:

где

Назовем потенциалом двойного слоя интеграл

                                 

                                                      (28)

Это определение, очевидно, соответствует такому случаю, когда внешняя сторона поверхности является отталкивающей, а внутренняя — притягивающей.

Очевидно, что                  

где φ — угол иежду внутренней нормалью и направлением из точки поверхности Р на фиксированную точку М. Если поверхность незамкнутая, то мы должны считать ее двусторонней, так как потенциал двойного слоя определяется только для таких поверх- ностей.

Потенциалы простого и двойного слоев в случае двух независимых переменных имеют вид

                                                

                                                   (29)

                                 

                                  (30)

где С — некоторая кривая, μ — линейная плотность простого слоя, v — плотность момента линейного двойного слоя, φ — угол между внутренней нормалью к линии С и направлением на фиксированную точку.

Если точка наблюдения М(х, у, z) находится вне поверхности (вне притягивающих масс), то подынтегральные функции и их производные по х, у, z любого порядка в формулах

непрерывны по переменным х, у, z. Поэтому в точках, лежащих вне поверхности , производные поверхностных потенциалов можно вычислять при помощи дифференци-рования под знаком интеграла. Отсюда в силу принципа суперпозиции следует, что

поверхностные потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа всюду вне притягива-ющих масс. Функции (29) и (30), очевидно, удовлетворяют уравнению Лапласа с двумя независимыми переменными.

Поверхностные потенциалы в точках поверхности представляются несобственными интегралами. Покажем, что если поверхность имеет непрерывную кривизну, то потенциал двойного слоя в точках этой поверхности существует. Проведем доказательство для случая двух независимых переменных:

Рассмотрим кривую на плоскости (х, у) и выберем начало координат в точке Р, ось х на-

правим по касательной, а ось у —по нормали в этой точке

(рис. 5).

                                   

                                                       (Рис. 5.)

 Уравнение  кривой в некоторой окрестности  точки Р запишется в виде 

Кривая имеет, по предположению, непрерывную кривизну, т. е, у(х) имеет непрерывную вторую производную. Поэтому

откуда вследствие выбора координатных осей

Отсюда будем иметь:

Из выражения кривизны следует

Поэтому

что доказывает непрерывность вдоль дуги, а тем самым и существование потенциала двойного слоя в точках кривой С для ограниченной функции v.

Потенциал двойного слоя в случае трех независимых переменных также сущест-вует в точках поверхности, имеющей конечную кривизну, потому что функция имеет интегрируемую особенность порядка 1/R. Существование потенциала простого слоя не вызывает сомнений.

 

§7.Разрыв потенциала двойного слоя.

 

Покажем, что потенциал двойного слоя в некоторой точке , лежащей на поверхности , является разрывной функцией, для которой имеют место соотношения

                                                            

                                         (31)

где — предельное значение потенциала двойного слоя при подходе к точке с внутренней стороны, a — предельное значение с наружной стороны поверхности.

В случае двух независимых переменных соответствующие формулы имеют вид

                                              

                                           (32)

Потенциал двойного слоя для двух независимых переменных выражается интегралом

Рассмотрим некоторый элемент дуги , концами которого являются точки и . Проведем через точку Р дугу окружности радиуса МР с центром в точке М до пере-сечения ее с отрезком в точке Q, тогда с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно написать (рис. 6):

                                                   

                                                   (Рис. 6.)

где — угол видимости, под которым видна дуга из точки М. Знак совпадает со знаком , так что: , если (угол между внутренней нормалью в точке Р и вектором меньше , и , если

Если , т. е. , то из точки М видна «внутренняя» сторона кривой С; при из точки М видна «наружная» сторона кривой. Отсюда следует, что угол видимости некоторой дуги- равен углу который описывает луч МР, когда точка Р пробегает дугу

Рассмотрим потенциал двойного слоя на замкнутой кривой С с постоянной плотностью . Луч МР описывает угол

когда точка Р пробегает всю кривую С. Отсюда для потенциала получаем:

Таким образом, потенциал с постоянной плотностью является функцией кусочно-постоянной, причем

                                                            

                                                       (33)

где — значения потеницала внутри, на и вне кривой С.

Аналогично в случае трех независимых переменных будем иметь:

                                                          

                                                      (34)

где — телесный угол, под которым виден элемент поверхности . Пусть — элемент сферической поверхности, получающийся при пересечении сферы, описанной радиусом МР из точки М, с конусом, имеющим вершину в точке М и опирающимся на элемент поверхности . Элемент поверхности = . Отсюда и следует формула (34). Замечание, сделанное выше относительно знака , остается в силе, что приводит

нас к формулам

характеризующим кусочное постоянство функции , а также к формулам

                                                 

                                                                (33’)

 где — значение потенциала внутри и снаружи поверхности , a — значение на .

Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с переменной плотностью и докажем, что в точках непрерывности плотности имеют место формулы, аналогичные формулам (33) и (33').

Пусть Р0— точка поверхности , в которой функция v(P) непрерывна. Введем потенциал двойного слоя с постоянной плотностью и рассмотрим функцию

Докажем, что функция непрерывна в точке . Для этого достаточно доказать равноме-рную сходимость интеграла в точке . Зададимся некоторым числом Из непрерывности функции в точке следует, что для любого наперед заданного числа можно найти — окрестность точки на поверхности — такую, что

если Представим интеграл в виде суммы

где интеграл берется по поверхности , a — по поверхности Из

определения следует:

где — постоянная, определяемая условием

                                                        

                                                          (35)

при всевозможных положениях точки М, не зависящая от выбора поверхности . Подробнее относительно этой постоянной будет сказано ниже.

Выбирая , мы убеждаемся в том, что для любого можно найти такое , содержащее , что

при любом положении точки М. Отсюда и следует равномерная сходимость интеграла в точке , а также его непрерывность в этой точке.

Если и —пределы потенциала при с внутренней и наружной сторон поверхности , то

и аналогично

Справедливость формулы (31) установлена.

Проведенное выше доказательство справедливо для поверхностей, удовлетворяющих условию ограниченности (35). Для выпуклой поверхности, которую всякий луч из точки М пересекает не более двух раз, для поверхностей, состоящих из конечного числа выпуклых частей, также ограничено. Таким образом, наше доказательство относится к весьма широкому классу поверхностей.

Все проведенные выше рассуждения остаются в силе и для функций двух незави-симых переменных. В этом случае формулы (33) принимают вид

 

 

§8.Свойства потенциала простого слоя.

 

В отличие от потенциала двойного слоя потенциал простого слоя

непрерывен в точках поверхности . Убедимся в этом для случая гладкой поверхности . Для этого достаточно установить равномерную сходимость интеграла V(M) в точках по-

верхности .

Действительно, пусть — некоторая точка поверхности . Представим потенциал V в виде суммы

где — достаточно малая часть поверхности , содержащаяся в сфере радиуса с цент-ром в точке . Величину мы более точно определим в дальнейшем.

Рассмотрим систему координат с началом в точке , ось z которой направлена по внешней нормали в . Пусть М(х, у, z)—произвольная точка, отстоящая от на

расстоянии Обозначим через проекцию на плоскость (х, у), а через — круг радиуса с центром в точке целиком содержащий область Предпо-лагая ограниченность функции

и принимая во внимание, что

и

получим:

если настолько мало, что

Введем в плоскости (х, у) полярную систему координат с началом в точке Тогда можно написать

Выбирая будем иметь

если Следовательно, V {М) равномерно сходится во всякой точке и является непрерывной функцией в этой точке.

Обратимся теперь к изучению поведения нормальных производных потенциала простого слоя на поверхности. Покажем, что они имеют на разрыв такого же типа, как и потенциал двойного слоя.

Внешняя и внутренняя нормальные производные функции V,

определяются следующим образом. Пусть некоторая точка Из точки проведем ось z, которую можно направить либо вдоль внешней, либо вдоль внутренней нормали.

Рассмотрим производную — в некоторой точке М оси z. Обозначим

 

пределы производной при стремлении точки М к точке с внутренней или наружной стороны поверхности . Если ось z направлена по внешней (внутренней) нормали, то эти значения называются внутренними и внешними предельными значениями производной по внешней (внутренней) нормали в точке .

Исследуем разрывы внутренней нормальной производной потенциала простого слоя на . Производная в точке М оси z, направленной по внутренней нормали, равна

                            

                               (36)

где — угол между осью z и вектором Проведем из точки Р (рис. 7) нормаль PQ

                                               

                                                     (Рис. 7.)

и прямую PN, параллельную оси z (нормали в точке ) , и обозначим через угол NPQ,

равный углу между нормалями в точках и . Выражение для потенциала двойного слоя W(M) содержит множитель Так как угол равен то

где Q — двугранный угол с ребром PQ. Отсюда следует, что

         

              (37)

где —потенциал двойного слоя с плотностью имеющий разрыв на поверхности . Очевидно, что интеграл является функцией, непрерывной в точке , так как сходится равномерно в этой точке.

Возвращаясь к формуле (37), видим:

                                        

                                         (38)

Обозначим

 

где — угол между осью z и вектором

Замечая, что находим:

                                               

                                         (39)

так как по условию ось z направлена по внутренней нормали. Если ось z направить по внешней нормали, то знак изменяется, и мы получим:

                                                           

                                          (40)

Для случая двух переменных имеют место аналогичные формулы с заменой на

 

Глава 2. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач.

 

§1. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач.

 

Метод разделения переменных и метод функции источника позволяют получить явное выражение для решения краевых задач только в случае областей простейшего вида. Све-

дение краевых задач для уравнения Лапласа (или Пуассона) при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям, с одной стороны, удобно для теоретического исследования вопроса о разрешимости и единственности краевых задач, с другой сторо-ны, дает возможность эффективного численного решения краевых задач для областей сложной формы. Рассмотрим внутренние краевые задачи для некоторого контура С: