Системы массового обслуживания с отказами в хозяйственной деятельности

Процесс экономико-математического моделирования можно условно разделить на три этапа:

1. анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемой системе, или изучаемому процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;
2. определение теорий и методов, с помощью которых можно решить задачу;
3. анализ полученных результатов.

При разработке экономико-математических моделей необходимо соблюдать следующие основные требования:

1) модель должна базироваться  на строго научной экономической  теории, раскрывающей категории  и закономерности данной формации;

2) модель должна отображать реальную  структуру моделируемого процесса  или объекта в соответствии  с принципом структурного подобия (изоморфизма);

3) в модели должно быть обеспечено  единство масштаба и соблюдено  соответствие размерностей экономических  величин;

4) в модели должно проводиться  принципиальное различие между  управляемыми, полууправляемым и неуправляемыми параметрами;

5) модель должна удовлетворять  условиям, определяющим степень  ее соответствия объекту и границы применяемости. [2]

При построении и изучении экономико-математических моделей хозяйственной деятельности используются различные экономико-математические методы. Применение экономико-математических методов повышает эффективность анализа за счет расширения изучаемых факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства. На рисунке приведена классификация экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности (см. рисунок 2).

 

 

 

Рисунок 2 - Классификация основных экономико-математических методов, применяемых в экономическом анализе

Охарактеризуем подробнее каждую группу экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности.

Методы элементарной математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке планов, проектов и т.д.

Классические методы математического анализа используются как самостоятельно (дифференцирование и интегрирование), так и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования). 

Методы математической статистики используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрических методов является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт.

Методы математического программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для анализа хозяйственной деятельности состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов.

Методы исследований операций – это методы целенаправленных действий (операций), направленные на количественную оценку полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе хозяйственная деятельность предприятий. Цель – такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Теория массового обслуживания исследует на основе теорий вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений.

Методы экономической кибернетики позволяют анализировать экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы кибернетического моделирования и системного анализа.

Эвристические методы (решения) – это неформализированные методы решения аналитических задач, связанные с опросом и экспертными оценками специалистов, высказывающих свое мнение на основе интуиции, опыта, с математической обработкой разных мнений для нахождения правильного решения.

Методы теории оптимальных процессов применяются для управления технико-экономическими процессами и ресурсами.

Применение экономико-математических методов в анализе хозяйственной деятельности требует соблюдения ряда условий, среди которых:

• системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;
• разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;
• совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;
• наличие технических средств (ЭВМ и др.) осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;
• организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.

Таким образом, экономико-математические модели и методы – это не только аппарат для получения экономических закономерностей, но и широко используемый инструментарий практического решения проблем в управлении, прогнозировании, бизнесе, банковском деле и других разделах экономики. [3]

 

3. Применение теории массового обслуживания в изучении и оценки хозяйственной деятельности

Достаточно часто при анализе хозяйственных систем деятельности человека приходится решать так называемые задачи массового обслуживания, возникающие в следующих ситуациях: обслуживание клиентов на автозаправочных станциях, обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Изучением и решением задач обслуживания массового характера в вышеперечисленных ситуациях занимается теория массового обслуживания.

Сущность теории массового обслуживания состоит в том, что на основе теории вероятностей разрабатывается оценка функционирования систем массового обслуживания.

В теории массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе и т.д.

Средства обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассы, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах и т.д.

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, обслуживаются поступившие заявки с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Общая схема системы массового обслуживания представлена на рисунке (см. рисунок 3). [4]

 

 

Рисунок 3 – Общая схема системы массового обслуживания

 

Поступив в обслуживающую систему, требование (заявка), присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает одно из требований, находящихся в очереди и приступает к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания канал приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования происходит мгновенно, в случайные моменты.

Основными компонентами любой системы массового обслуживания являются:

- входящий поток требований или заявок на обслуживание;

- механизм обслуживания;

- дисциплина обслуживания.

Раскроем содержания каждого из указанных выше компонентов.

1. Входящий поток требований или заявок на обслуживание (поток случайных событий) представляет собой последовательность однородных, неразличимых по каким-либо признакам, кроме моментов появления, событий (например, обрыв нити в ткацком производстве). Поток этих событий можно интерпретировать как последовательность точек на оси времени:

 

Можно фиксировать моменты поступления заявок и определить среднее время между двумя последовательными заявками Т. Для описания входящего потока заявок на обслуживание как потока случайных событий необходимо задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов времени поступления заявок на обслуживание.

Любую непрерывную случайную величину Т, равную интервалу времени между последовательными событиями потока заявок, можно задать функцией распределения вероятностей. Значения функции распределения вероятностей определяют вероятность того, что случайная величина принимает значение не более заданного. Например, для универсама функция распределения вероятностей потока покупателей имеет следующий вид:

 

.

(1)

Для приведенного примера величина функции распределения вероятностей F(t) означает, что 20 % покупателей заходят через 5 минут друг после друга.

Среди разнообразия потоков случайных событий особое место в теории массового обслуживания принадлежит простейшему, или пуассоновскому, потоку случайных событий, позволяющих легко описывать и строить математическую модель системы массового обслуживания. Эти модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют именно их. В других случаях задачи исследования системы массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Учитывая величину плотности входящего потока заявок на обслуживание, запишем формулу функции распределения вероятностей для пуассоновского потока:

 

.	(2)
Закон Пуассона: .

2. Механизм обслуживания поступающих заявок определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания. Система массового обслуживания, имеющая несколько каналов, способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, имеет место параллельное обслуживание. Система массового обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. обслуживание требований реализуются последовательно.

К характеристикам процедуры обслуживания относятся продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания заявок (требований)».