Системы массового обслуживания с отказами в хозяйственной деятельности

Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований, важнейшей из которых является продолжительность обслуживания заявок каналами системы массового обслуживания. Как правило, время обслуживания – случайная величина, которая задается функцией распределения вероятностей и плотностью вероятности.

Рассмотрим СМО, в которых время обслуживания распределено по показательному закону:

 

.

(3)

 

где плотность потока обслуженных заявок одним каналом

   системы массового обслуживания, при условии, что канал 

   будет непрерывно занят.

3. Дисциплина обслуживания - это важный компонент системы массового обслуживания, который определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

- первым пришел – первый обслуживаешься;

- пришел последним – обслуживаешься первым;

- случайный отбор заявок;

- отбор заявок по критерию приоритетности;

- ограничение времени ожидания с момента наступления обслуживания.

В качестве основных критериев эффективности систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• среднее время ожидания в очереди;
• средняя длина очереди;
• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с ожиданием, или очередью (заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободиться один из каналов. Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожидание и системы с неограниченным ожиданием;

2) с отказами (заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь).

Таким образом, применение теории массового обслуживания в хозяйственной деятельности предприятий позволяет оптимизировать решение задач обслуживания посетителей массового характера, используя математический аппарат. [5]

2 Системы массового обслуживания с отказами

Системой массового обслуживания с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования (заявки) в случае занятости всех каналов обслуживания сразу ее покидают.

Основные показатели эффективности системы массового обслуживания с отказами:

1. абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2. относительная пропускная способность системы массового обслуживания, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3. вероятность отказа, т.е. вероятность того, что заявка покинет систему массового обслуживания необслуженной;

4. вероятность занятости, т.е. вероятность того, что заявка останется в системе массового обслуживания;

5. среднее число занятых каналов (для многоканальной системы);

6. среднее число свободных каналов (для многоканальной системы).

 

2.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть система массового обслуживания включает в себя только один канал обслуживания, и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью ƛ т.е. непрерывная случайная величина время между двумя соседними заявками – распределена по закону Пуассона; другая случайная величина время обслуживания каналом одной заявки – также распределена по закону Пуассона с параметром

 

.

(4)

 

Одноканальная система массового обслуживания может находится в одном из двух состояний: канал свободен (простаивает) и канал занят. Переход из состояния в состояние переводит поток входящих заявок, а переход из состояния в состояние поток обслуживания. Плотности вероятностей перехода из состояния в состояние и обратно равны, соответственно, . Граф состояний одноканальной системы массового обслуживания показан на рисунке (см. рисунок 4).

 

 

 

 

Рисунок 4 – Граф состояний одноканальной системы массового обслуживания

 

Рассмотрим основные характеристики эффективности одноканальной системы массового обслуживания:

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы массового обслуживания имеет вид:

 

,   ,   .

(5)

 

где вероятности нахождения системы массового обслуживания

                                                 в состояниях  соответственно.

 

Решая систему дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы массового обслуживания, получим финальные уравнения для вероятностей :

 

,

(6)

 

.

(7)

 

Вероятность по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки , т.к. канал является свободным, а вероятность по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки , т.к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.

Относительная пропускная способность для одноканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

 

.

(8)

 

Абсолютная пропускная способность для одноканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

 

.

(9)

 

Среднее время обслуживания заявки в системе массового обслуживания рассчитывается по формуле:

 

.

(10)

 

 

Среднее время простоя канала системы рассчитывается по формуле:

 

.

(11)

 

Среднее время пребывания заявки в системе рассчитывается по формуле [6]:

 

(12)

 

2.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть система массового обслуживания содержит каналов. На ее вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью , а поток обслуживаний каждым каналом является также простейшим с интенсивностью .

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами представлен на рисунке (см. рисунок 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5 – Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами

 

 

 

 

Система может находиться только в одном из состояний: от состояния (все каналы свободны) до состояния все каналы заняты. Заявка, поступающая в систему, когда заняты все каналов, получает отказ в обслуживании и покидает систему массового обслуживания.

Входной поток заявок с интенсивностью (плотностью вероятности перехода) ƛ переводит систему из любого состояния в соседнее состояние справа , причем плотность вероятности этого перехода одинакова (          В силу ординарности входного потока заявок система массового обслуживания может переходить слева на право только в соседние состояния без перескока через какое-либо состояние.

Переход системы массового обслуживания в направлении справа налево из состояния когда каналов заняты в состояние , когда освобождается один из занятых каналов, происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний с интенсивностью . Следовательно, плотность вероятности такого перехода равна . В этом случае система также не может перескакивать через состояние, а только последовательно переходит из одного состояния в другое.

Рассмотрим основные характеристики эффективности многоканальной системы массового обслуживания:

Решение многоканальной системы массового обслуживания имеет следующий вид:

 

,

(13)

 

.

(14)

 

Данные формулы называются формулами Эрланга и они определяют предельные вероятности состояний системы массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

 

.

(15)

 

Относительная пропускная способность для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

 

.

(16)

 

Абсолютная пропускная способность для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

 

.

(17)

 

Одной из важных характеристик многоканальной системы массового обслуживания является среднее число занятых каналов отношение абсолютной пропускной способности к интенсивности канала обслуживания.

Для многоканальной системы обслуживания с отказами среднее число занятых каналов определяется по формуле

 

.

(18)

 

Среднее время обслуживания заявки в системе рассчитывается по формуле [6]:

 

.

(19)

 

3 Практическое применение многоканальной системы массового обслуживания с отказами в вычислительной лаборатории

 

3.1 Постановка задачи

Рассматривается вычислительная лаборатория с тремя персональными компьютерами, используемыми для решения поступающих задач. В среднем за один час поступает одна задача. Продолжительность решения одной задачи составляет 1,8 час. Поток заявок на решение и поток решенных задач являются простейшими. Определить вероятности состояний вычислительного центра, вероятность того, что поступившая задача не будет решена, относительную пропускную способность вычислительного центра, среднее количество занятых ПЭВМ. Определить при каком количестве ПЭВМ пропускная способность вычислительного центра увеличивается вдвое.

 

3.2 Решение задачи

Для решаемой задачи:

1. , количество каналов обслуживания (ПЭВМ);

2. час, среднее время обслуживания одной заявки;

3. заявка в час – интенсивность (плотность) входящего потока заявок.

Чтобы ответить на поставленные вопросы, определим числовые характеристики изучаемой системы массового обслуживания с отказами.

1. Определим  приведенную плотность потока  заявок т.е. среднее количество  заявок, поступающее в систему  массового обслуживания за среднее  время обслуживания:

 

,

(20)

 

.