Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей

     В классической схеме для нахождения чисел m и n в более сложных случаях применяется формула комбинаторики.

     Пример: Из колоды в 36 карт наудачу взяли 3 карты. Найти вероятность события А, что из 3 две карты тузы и одна карта шестерка.

     Р(А)=m/n

     n= , m=    число способов из 36 берем 3 :

     Р(А)=  

     Задача  о безвозвратной  выборке.

     Пусть имеется N- предметов, среди которых M предметов (М N) обладает некоторым свойством А. Из этих предметов произвольным образом берется n предметов (без возврата).

     Найти вероятность события В, что из взятых n предметов m предметов обладает свойством A.

       
 

     p – благоприятные исходы;

      - число  способов выбора из M предметов, обладающих свойством А;

      - число  способов выбора из m предметов не обладающих свойством А;

      - число  способов выбора из N предметов;

       n – общее число исходов.

     Задача: Найти вероятность, что в билете спортлото будет угадано

1. 6 из 49;
2. 3 из 49

А – угадано 6 из 49,  Р(А)= =

В – событие, что угадано 3 из 49

Р(А)=  

 

      
 

     §2.2 Аксиоматическое  определение вероятности

     Пусть проводится эксперимент Е и определено пространство элементарных исходов  . Выделим в пространстве элементарных событий систему подмножеств F. Эту систему подмножеств будем называть классом F.

     О1: Класс F называют алгеброй событий, если выполняются следующие условия:

1. Само пространство
2. Если два события классу F, то сумма, произведение и разность этих событий классу F, т.е. если , , то , , , , .

 

О2: Класс  F называют борелевским полем событий, если выполняются следующие условия:

1. Пространство элементарных исходов
2. Если сумма двух событий , то сумма, разность и произведение этих событий
3. Если конечное число событий А₁, А₂, …, А_n или счетное число событий , то и сумма этих событий (а следовательно и произведение )

 

 

 

Рассмотрим  пример: Пусть эксперимент Е –  исследование надежности работы прибора, состоящего из двух элементов

     

       – оба  работают;

      -один работает;

      – оба отказали. 

       

     Проверим, является ли алгеброй:

1. ;
2. – событие, что откажет не более одного элемента.

     

     т. о. сост. кл. F – есть алгебра событий. 

     Аксиоматика Колмагорова.

     Пусть для эксперимента Е определено и выделено алгебра событий F.

     Для каждого события А F поставим в соответствие неотрицательное число Р(А), которое назовем вероятностью событии А и будем считать, что вероятность события А удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность любого события А заключена между 0 и 1: .
2. Вероятность пространства элементарных событий равна 1 , т. е. вероятность достоверного события равна 1.
3. Вероятность суммы счетной последовательности попарно-несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий т.е.:

 

     Из  введенных аксиом видно, что для  любого событии А определяется численное значение вероятности Р(А), т.е. вероятность есть числовая функция, определяемая на множестве F.

     Следствие из аксиом:

1. Представим пространство

     Найдем  вероятность правой и левой части

     

       
 
 
 

     Теорема: Вероятность противоположного события равна разности между 1 и вероятностью исходного события.

2. Из аксиомы 3) следует:

Вероятность суммы попарно-несовместных событий  равна сумме вероятностей этих событий.

 

- несовместные

3. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

 
 

     Пример 1: Стрелок попадает в десятку (событие А) с вероятностью 0,45, а в девятку (событие В) с вероятностью 0,4.

     Найти вероятность события С – стрелок  попадет или в десятку или  в девятку при одном выстреле.

     Р(С)=Р(А+В)_несовм=Р(А)+Р(В)=0,85

     Пример 2: Два стрелка стреляют по цели, вероятность попадания в цель первого равна 0,8, второго 0,7.

     Найти вероятность, что цель будет поражена, если каждый стрелок сделает по выстрелу.

     Пусть С – событие, что цель поражена тогда:

       Р(С)=Р(А+В)_совм=Р(А)+Р(В) –Р(АВ)=0,8+0,7-0,8*0,7=0,94.

     О: Тройка ( ), состоящая из пространства элементарных исходов вероятностью эксперимента, выделенные в нем , F и вероятностной мерой Р некоторого события А называется вероятностным пространством. 

           § 3.1 Классическое определение  вероятности события.

     Пусть проводится  вероятностный эксперимент  Е и пусть определено пространство элементарных событий Ω. Предположим:

1. Пространство элементарных событий Ω состоит из конечного числа n элементарных событий;
2. Все элементарные события равновозможные, т.е. нет объективных причин считать одно событие более возможным чем другое, тогда любое событие , где можно определить вероятность и т.о. заданная схема определения вероятности событий называется классической схемой определения вероятности или лаплассовский метод.

     В классической схеме выполняются  все аксиомы Колмогорова и  вероятность  является вероятностной мерой оценки возможности появления события .

     Пусть событие А может появиться  при m возможных исходов ( ).

     Для определенности будем считать, что  событие А будет появляться при  исходах  , тогда вероятность события может появиться.

      (по  аксиоме 3).

     Т.к.

     

• Формула классического  определения вероятности события.

 

     m – число событий, благоприятствующих появлению события А и тогда мы можем записать классическое определение вероятности события.

     О: Вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствующих появлению события А к общему числу всех равновозможных и единственно возможных исходов.

     Свойства:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

Если  А – достоверное, то m=n

P(A)=m/n=n/n=1

2. Вероятность невозможного события равна 0.

А - невозможное, m=0,

P(A)=m/n=0

3. Вероятность любого события заключена между 0 и 1.

 

     §3.2 §3.3 Ограниченность классического определения вероятности события.

     Классическая  схема нахождения вероятности применяется  в ограниченном круге задач, т.к. в этой схеме были предположения

1. Мы предполагали, что n элементарных исходов конечные. В практических задачах очень часто n (классическая схема не работает).
2. В классической схеме предполагали, что вероятностный эксперимент можно представлять как сумму элементарных исходов. На практике не всегда можно выделить все элементарные исходы.

Пример: стрельба по цели.

Цель  имеет площадь n , снаряд может попасть в любую точку, может быть ветер( отклонение).

3. В классической схеме предполагалось, что все исходы равно - возможны. Равно - возможность заключается из условий симметричности. На практике это выполняется редко. Поэтому, кроме классического определения вероятности, вводится понятие статистической вероятности.

 

     § 3.4 Относительная частота событий. Статистическое определение вероятности событий.

     §3.5 Геометрические вероятности. 

      §4.1 Условные вероятности.

      Пусть рассматривается некоторый вероятностный  эксперимент Е и пусть появятся события А и В, соотношения  между А и В может быть различным.