Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей

Лекция 2

     Тема  «Основные понятия, определения и  теоремы теории вероятностей»

     План

1. Возникновение теории вероятностей как науки.
2. Основные понятия теории вероятностей.
3. Классическое определение вероятности событий и его ограниченность.
4. Статистическое определение вероятности. Относительная частота.
5. Геометрический подход к определению вероятностей.
6. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
7. Применение формул комбинаторики к вычислению вероятностей.

     1. Возникновение теории  вероятностей как  науки

     Зарождается в 16-17вв. как попытка создания теории азартных игр.(Гюйгенс, Паскаль, Ферма).

     Задача  Пачиолли: 2 игрока сделали ставку и выигрывал тот, кто первый выигрывает m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл a (a<m), а второй (b<m) партий. Как справедливо разделить ставку? (a:b – решение Пачиолли не верно). Через 50 лет Кардано (1501-1576) тоже неверное решение. И только в 1654 г. в переписке Паскаля и Ферма эта задача решена для случая m=3, а=2 и b=1. (ответ 3:1).

     Следующий этап (Яков Бернулли 1654-1705) – доказан «Закон больших чисел» - первое теоретическое обоснование накопленных фактов.

     Середина  XVII в. – исследования Паскаля (1623 - 1692), Ферма (1601 - 1665), Гюйгенса (1629 - 1695) в области теории азартных игр, исследования нашли применение в теории страхования.

     Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана  Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

     Муавр (1667 – 1754) – ввёл в рассмотрение нормальный закон.

     Лаплас (1749 - 1827) – впервые дал систематическое  изложение основ теории вероятностей, развил приложения теории вероятностей к анализу ошибок наблюдений и измерений.

     Гаусс (1777 - 1855) – дал более общее обоснование  нормальному закону.

     Пуассон (1781 - 1840) – дал более общую формулировку закона больших чисел, закон распределения Пуассона, применение теории вероятностей к задачам стрельбы.

     Следующий наиболее плодотворный период – Чебышев  П.Л. (1821-1894), Марков А.А. (1856-1922), Лопухов (1857-1916). В этот период ТВ становится стройной математической наукой.

     Отечественные учёные.

     Буняковский В. Я. (1804 - 1889) – автор первого курса  теории вероятностей на русском языке, исследования в области статистики и демографии.

     Чебышев П. Л. (1821 - 1894) – расширение и обобщение  закона больших чисел, ввёл метод  моментов.

     Марков  А. А. (1856 - 1922) – заложил новые ветви теории вероятностей – теории стохастических (случайных) процессов - развитие этой теории основное содержание новейшей современной теории вероятностей.

     В настоящее время развитие теории случайных процессов, новые ветви «теория информации», «теория массового обследования». Круг приложений теории вероятностей постоянно увеличивается. 

     §1.1 Возникновение теории вероятностей как  науки

     Галилей на основании теории азартных игр  создал элементы комбинаторики.

     Пачиолли (1445-1516) впервые в своем математическом труде дал задачу:

     Задача  Пачиолли: 2 игрока сделали ставку и выигрывал тот, кто первый выигрывает m партий из n. По каким то причинам игра остановлена тогда когда игрок А выиграл а партий (а<m), а игрок В – в партии (b<m). В каком отношении разделить ставку?

     Решение Пачиолли: а:b (неправильное). Затем эту задачу решил Кардано (1501-1576) решил неверно.

     Только  в 1654 году решил Б. Паскаль (1623-1662).

     В 16 лет Б. Паскаль издал первый труд. Опыт конич. Сеч.

     В 19 лет создал первый в мире арифмометр, и таких машинок он создал семь.

     Создал  закон гидродинамики.

     В 1646 г. – первое обращение к религии.

     В 1652 г. – умер отец Паскаля, Б. Паскаль  вместе с герцогом Роанским и кавалером  де Маре отправился в путешествие  по Франции (1652-1654), были в игорных домах.

     Задача 1: сколько раз надо бросить 3 игральные  кости, чтобы с вероятностью > ½ , хотя бы раз выпало три шестерки.

     Задача 2: Почему при бросании трех игральных  костей сумма очков равная 11 выпадает чаще, чем сумма очков равная 12.

     29 июля 1654г. Паскаль свои математические  рассуждения о решении этих  задач в виде письма отправил  Ферма. Последнее письмо от 23 ноября 1654г., в ночь  - второе обращение  в религии ушел в монастырь.

     Вклад Паскаля в ТВ – в письмах  Ферми.

     1658 г. – Гюйгенс «О расчетах в азартных играх» (употребил термин математическое ожиднание).

     1713 г. – Я. Бернулли «Искусство  догадок» основа закона бинарных  чисел.

     1718 г. – книга Муавра «Учение  о случаях», впервые ввел понятие  нормального закона распределения,  исследовал рост 1375 женщин и построил график.

     

                                        ≈1/  
 
 
 

     Д. Бернулли поставил ряд задач в 5 томе его книги, и на основе этих задач  Гаусс ввел теорию способа наименьших квадратов.

            

     Первый  учебник по теории вероятностей  в 1812 Лаплас – «Аналитическая теория вероятностей».

     1846г.  – первый учебник издан Буняковским  «Основание математической теории  вероятностей», этой книгой заинтересовался  Чебышев и написал 4 труда по  ТВ.

     Марков  продолжил исследование Чебышева и ввел теорию случайных процессов.

     Ляпунов обобщил теорию Чебышева.

     В 1900 Гильберт на математическом съезде потребовал издать аксиоматику ТВ.

     В 1917 Гильберт Бернштейн попробовал создать  аксиоматику ТВ, но она не шла, и  только в 1933 – аксиоматику ввел Колманровал, рассматривал случайные события как множества, а вероятность как меру на этом множестве.

 

      2. Основные понятия теории вероятностей

     Теория  вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

     Случайные явления – это такие явления, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному.

     Примеры. Стрельба из орудия, взвешивание тела, полёт самолёта.

     Все приведённые примеры рассмотрены  с одной точки зрения: подчёркнуты  случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными. Эти вариации связаны с наличием второстепенных факторов, влияющих на исход опыта. Основные условия опыта, определяющие в грубых чертах его протекание, остаются неизменными, а второстепенные – меняются и вносят случайные различия в их результаты. Очевидно, в природе нет ни одного единого физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности.

     В точных науках, изучая явление, составляют его модель, т. е. упрощённую схему, отвлекаясь от некоторых неосновных свойств явления.

     Однако  часто пренебрегать случайными факторами  нельзя. Надо изучить случайное явление  с очки зрения закономерностей, присущих ему именно как случайному явлению, этим и занимается теория вероятностей.

     Элемент неопределённости, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует  создания специальных методов для  изучения этих явлений. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Её предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

     Практика  показывает, что наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обнаруживаем в них вполне определённые закономерности, своего рода устойчивости, свойственные массовым случайным явлениям.

     Причём  именно массовость явлений позволяет  сформулировать закономерности. Чем  большее количество однородных случайных  явлений участвует в задаче, тем  определённее прослеживаются специфические  законы (точнее можно осуществить научный прогноз).

     То  есть теория вероятностей обладает прогностической  функцией.

     Вероятностный, или статистический метод в науке  не противопоставляет себя классическому  точному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему элементов случайности.

     Математические  законы теории вероятностей – отражение  реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных  явлениях природы. К изучению этих явлений  теория вероятностей применяет математический метод и является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки. 

     

1. Событием  будем называть все то, что может  произойти или не произойти при  осуществлении определенного комплекса  условий. Событие будем обозначать большими буквами А, В, С.

     Пример: Испытание – стрельба по цели; комплекс условий – ружье, мишень; событие  А – попадание в цель, В –  промах.

     Все множество событий делится на 2 группы:

1. События, которые можно предсказать или предвидеть при выполнении комплекса условий.
2. События, которые нельзя предсказать – случайные события.

     События первой группы делятся на достоверные  и невозможные.

2. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при выполнении определенного комплекса условий;
3. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет при выполнении данного комплекса условий.
4. События, которые при выполнении данного комплекса условий могут произойти, а могут не произойти называются случайными.
5. Два события называются несовместимыми (несовместными), если появление одного из них полностью исключает появление другого.
6. Несколько событий называются единственно-возможными, если при данном испытании появится обязательно одно из них.

     Замечание: Единственно возможные события являются попарно несовместными.

7. Совокупность всех единственно возможных событий, а следовательно и попарно несовместных называют полной группой событий или пространством элементарных событий.

 

 

     Еще раз  те же определения

     В теории вероятностей все явления и события рассматриваются как математические модели, которые описывают основные свойства изучаемых явлений или событий.

     О1: Событием будем называть все то, что может произойти или не произойти при осуществлении  определенного комплекса условий.

     Договоримся события обозначать А, В, С.

     Пример: Испытание – стрельба по цели. Комплекс условий – ружье, мишень, пуля, человек.

     Событие – А – попадание в цель;

                        В – промах.

     Все множество событий делится на 2 группы:

1. События, которые можно предсказать или предвидеть при выполнении комплекса условий;
2. События, которые нельзя предсказать.

 

События первой группы делятся на достоверные  и невозможные. 

     О2: Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при  выполнении определенного комплекса условий.