Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей

     О3: Событие называется невозможным, если никогда не произойдет при выполнении данного комплекса условий. 

     События второй группы являются случайными. 

     О4: События, которые при выполнении данного комплекса условий могут  произойти, а могут не произойти называются случайными.

     О5: Два события называются несовместимыми или несовместными, если появления  одного из них полностью исключает  появление другого. 

     О6: Несколько событий называются единственно-возможными, если при данном (комплексе условий) испытании обязательно появится одно из них.

     Замечание: Единственно-возможные события являются попарно несовместными. 

     О7: Совокупность всех единственно-возможных  событий, а следовательно и попарно  несовместных называют полной группой  событий. 

     Пусть проводится какое – либо испытание, результаты которого могут быть событиями ₁, _2, …, _n. Эти события называют элементарными, если они удовлетворяют следующим условиям:

1. Событие _k - единственно-возможное событие;
2. _k - несовместимы;
3. бы не было изучаемое событие А, по появлению события _k можно судить произошло или не произошло событие А.

Например: бросается кость, А – выпало четное число очков, ₁ выпало 1 очко, …, ₆ – выпало 6 очков.

Чаще  элементарные события будем зазывать исходами.

О: Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий  и обозначается:

Пример 1. Эксперимент Е – бросание монеты 1 раз. В этом случае пространство элементарных событий

     

     Пример 2. Е – бросание игральной кости 1 раз.

     

     Пример 3. Е – пол трех детей в семье.

     

     В каждом эксперименте пространство элементарных событий будет свое.

     О: Вероятность – есть объективная  характеристика возможности появления того или иного события.

     О: Теория вероятностей – есть математическая дисциплина, которая изучает закономерности появляющиеся при массовом наблюдении случайных событий. 

 

  3.Классическое определение вероятности событий и его ограниченность. 

     Пусть проводится вероятностный эксперимент  Е и пусть определено пространство элементарных событий Ω. Предположим

1. пространство элементарных событий Ω состоит из конечного числа n элементарных событий.
2. все элементарные события равновозможны.

     Заданная схема определения вероятности событий называется классической.

     Вероятностью  события А  называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А к общему числу всех равновозможных исходов

     Свойства:

1. Вероятность достоверного события =1;
2. Вероятность невозможного события =0;
3. Вероятность любого события  между 0 и 1.

Пример1.

1. Куб все грани которого окрашены распилили на 1000 частей. Найти вероятность, что взятый наугад кубик имеет три окрашенные грани

n=1000, m=8     P(A)=m/n=8/1000=0.0008. 

     Пример2 : Из колоды в 36 карт наудачу взяли 3 карты. Найти вероятность события А, что из трех две карты тузы и одна шестерка.

     

     Классическое  определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно, на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

     Кроме того, часто невозможно представить  результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее  указать основания, позволяющие  считать элементарные события равновозможными.

     По  этим причинам, наряду с классическим определением вероятности используют и другие. 
 

4. Статистическое определение  вероятности. Относительная  частота.

     Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит  к основным понятиям теории вероятностей.

     Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведённых испытаний:

      , где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

     Пример. По цели произведено 24 выстрела, причём было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели W(A) . 

     Определение вероятности не требует, чтобы испытания  производились в действительности, определение же относительной частоты  предполагает, что испытания были проведены фактически, т. е. вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

  Для нахождения относительной частоты события необходимо провести испытания, т.е. относительная частота находится после опыта, а  вероятность – до опыта.

  Свойства  относительной частоты событий  те же:

1. Относительная частота событий равна 1: Р*(А)=n/n=1;
2. Относительная частота невозможного события равна 0: Р*(А)=0/n=0;
3. Относительная частота события находится между 0 и 1: 0 Р*(А)

 
 
 
 
 
 

     Относительная частота событий обладает свойством  устойчивости, т.е. при большом числе  испытаний приближается к тому же числу, которое и называют вероятностью события

     Р*(А) Р(А) 

     Статистическое  определение вероятности  события:

     Вероятностью  события А называется число около  которого колеблется относительная  частота события.

     Статистическое определение вероятности: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. 

     Длительные  наблюдения показали, что если в  одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний  достаточно велико, то относительная  частота обнаруживает свойство устойчивости: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Причём, это постоянное число есть вероятность появления события.

     Таким образом, если опытным путём установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближённое значение вероятности.

     Свойства  вероятности, вытекающие из классического  определения, сохраняются и при  статистическом определении вероятности:

     - статистическая вероятность достоверного события равна 1;

     - статистическая вероятность невозможного  события равна 0;

     - для любого события, относительная  частота 0≤m/n≤1.

     Для существования статистической вероятности  события A требуется:

1. возможность хотя бы принципиально производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие A наступает или не наступает;
2. устойчивость относительной частоты появления A в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

     Недостаток статистического определения: является неоднозначность статистической вероятности.

 

      5. Геометрический подход к определению вероятностей 

     Если  в эксперименте Е элементарные исходы – равновозможные, но их бесконечно много , то классическое определение вероятности события неприменимо.

     Для преодоления недостатка классического  определения вероятности (о конечном числе исходов) вводят геометрическое определение вероятности – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

     Пусть отрезок l часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

     В этих предположениях вероятность попадания  точки на отрезок l определяется:

     

     Пусть рассматривается некоторая область  и внутри нее область q

     

        В области  наудачу бросается точка. Найти вероятность, что она попадет в область q.

      A – событие, что точка попадет в область q. 

      P(A)=m_q/m

,

      m- мера (длина, скорость, расстояние…) 

       Задача 1: На стержень длины L наудачу бросается точка. Найти вероятность, что эта точка упадет от середины на расстояние не превышающее l. 

 P(A)=2l/L

 

      Пример 2: Два лица А и В условились встретиться между 12 и 13 часами. Каждый ожидает другого в течение 20 мин., а затем уходит. Найти вероятность события А – что оба лица А и В встретяться.

Решение:

      Обозначим через Х – множество возможностей во времени прихода лица А,

      Y – множество возможностей прихода лица В.

        

        

      

         
 
 
 
 

      Множество точек квадрата – множество исходов прихода А и В.