Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей

      

      Штриховкой  обозначены благоприятные исходы.

      Р(А)= S_штр/S_кв= =20/36=5/9 

6. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

     Алгебра событий.

     Пусть производится эксперимент Е и  пусть определено пространство элементарных событий. Поэтому, учитывая, что события рассматриваются как некоторые множества над событиями производят те же операции, что и над множествами.

     О1: Суммой 2 событий А и В называется сложное событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий и обозначается:

     

     

       

     О2: Суммой конечного числа А_1, А_2, …, А_n событий или суммой счетной последовательности событий называются сложные события, состоящие из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий.

     

     

     Пример: Эксперимент Е – бросание игральной  кости один раз, тогда 

     

     Введем  событие А – что выпало четное число очков, В – что выпало не меньше 3, тогда:

     

     

     

     О3: Произведением двух событий А  и В называется сложное событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих и событию А и событию В.

     

     

       
 
 
 
 

     О4: Произведением конечного числа  событий А₁, …, А_n или счетного числа событий называют сложное событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих всем этим событиям.

     

     

     В предыдущем примере   . 

     О5: Разностью двух событий А и  В называется событие, состоящее  из элементарных исходов, принадлежащих  событию А и не принадлежащих  событию В.

       
 
 
 

     Операции  над событиями имеют те же свойства, что и множества:

5. - законы дополнения
8. …

 

     Теорема сложения вероятностей.

     О1. Сумма двух событий А и В  называется событие С, состоящее  в появлении хотя бы одного  из событий А и В. (С=А+В)

     О2. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении  хотя бы одного из этих событий.

     Например: А – попадание в цель при  одном выстреле, В – попадание в цель при втором выстреле. С=А+В – поражение цели вообще.

     Если  события А и В несовместны, то естественно, что появление этих событий вместе отпадает, и сумма  событий А и В сводится к  появлению или события А или  события В. 

     Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

     Следствие 1: Если события А1, А2,…Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1.

       

     O3. Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

     Обозначаются  и .

     Примеры:

1. А - попадание при выстреле, - промах.
2. В – выпадение орла, – выпадение режки.
3. С – обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, – обнаружение не более одного бракованного изделия.

     Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий  равна 1: Р(А)+Р( )=1.

     Отсюда: Р( )=1-Р(А).

     Задача: В лотерее 1000 билетов, из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыш по 100 рублей, на 50 билетов – 20 рублей, на 100 билетов выигрыш по 5 рублей, остальные билеты не выигрышные. Найти вероятность, человек, купивший один билет, выиграет не менее 20 рублей.

     Решение:

     А – выиграть не менее  20р. 

     А1 – выиграть 20р.    

     А2 – 100р.      

     А3 – 500р. 

     Тогда Р(А)=Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)=0,061. 

2.              Участники жеребьевки наудачу берут жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность, что взятый наудачу жетон не содержит цифру 5.

Р(А)=1-Р( )

 – событие,  что взятый жетон содержит  цифру 5.

=m/n, n=100, m=19

P( )=19/100=0.19

P(A)=1-0.19=0.81. 

     О.   Произведением двух (нескольких) событий А1 и А2 (А1,…,Аk) называется событие В состоящее в совместном выполнении события А1 и события А2.

     Например: Если по мишени производится 3 выстрела и рассматриваются события В1 – промах при первом выстреле, В2 - при втором, В3 – при третьем, то событие  В=В1В2В3 – в мишень не будет ни одного попадания.

     Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

     Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

     Задача:

     Подбрасываем  две монеты. Какова вероятность выпадения отябы одного герба?

     Решение:

     А – появление герба на одной  монете;

     В – появление герба на второй монете;

     С – вероятность выпадения хотя бы одного герба.

     Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

     Р(А)=1/2, Р(В)=1/2, Р(АВ)=1/4, т.к. при двух брошенных монетах возможны случаи: герб – герб, герб – решка, решка – герб, решка – решка.

     Т.е. всего исходов четыре, из них 1 благоприятный, тогда:

     Р(С)=1/2+1/2-1/4=3/4. 

     Условные  вероятности. Теорема  умножения вероятностей.

     О1. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

     О2. Два события называются зависимыми, если появление одного из них влияет на вероятность появления другого.

     Примеры:

1. Опыт состоит в бросании 2 монет. Событие А – появление герба на первой и В – появление герба на второй являются независимыми.
2. В урне 2 белых и 1 черный шар, два лица вынимают из урны по шару. Событие А – появление белого шара у первого лица и событие В появление белого шара у второго лица зависимы.

     О3. Вероятность события А, вычисленная  при условии, что имело место  другое событие В, называется вероятностью события А и обозначается Р(А/В) или Р_В(А).

     Условной  вероятностью события А при условии  В называется отношение вероятности  совмещения этих событий к вероятности события В:

      , Аналогично  .

     На  практике условная вероятность Р(А/В) вычисляется как вероятность  события А, вычисленная при условии, что событие В произошло.

     Пример: Для примера с шарами 3 исхода: б-б, б-ч, ч-б. Один благоприятный.

     Р(А)=2/3, Р(А/В)=1/2.

     По  формуле: Р(В)=2/3, Р(АВ)=1/3, .

     Свойства:

1. .
2. Если событие В влечет за собой появление события А, то Р(А/В)=1, как событие достоверное.
3. Если пересечение событий , то Р(А/В)=0.

     Теорема 1: вероятность произведения двух зависимых событий равна вероятности одного из событий, умноженный на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло

     Р(АВ)_зав=Р(В)Р(А/В)=Р(А)Р(В/А)

     Следствие: Вероятность произведения n зависимых событий A1, А2,…, Аn равна произведению вероятности одного из событий на соответствущие условные вероятности других, вычисленных в предположении, что все предыдущие события произошли.

     Пример 1:

     В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны подряд вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба шара белые.

     Решение:

     А – появление 2 белых шаров.

     А1 – первый шар белый, А2 – второй шар белый.

     А=А1А2 Р(А)=Р(А1)Р(А2/А1)=2/5*1/4=1/10

     Р(А1)=2/(2+3)=2/5, Р(А2/А1)=1/(1+3)=1/4

     Если  события А и В независимы, то Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В).

     Два события независимы, если появление  одного не изменяет вероятности появления  другого.

     Теорема 2: Вероятность произведения двух (n) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

     Р(АВ)_незав=Р(А)Р(В), Р(А1,…,Аn)=Р(А1)…Р(Аn).

     Пример 2:

     В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны подряд вынимают 2 шара, после первого  вычисления шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Найти вероятность, что оба шара белые.

     Р(А)=Р(А1)Р(А2)=2/5*2/5=4/25

 

      7. Применение формул комбинаторики для решения вероятностных задач.