Финансовая математика: предмет, принцип «временной стоимости денег», виды процентных ставок

 

    Под потоком платежей понимается некоторая последовательность платежей во времени (Cash Flow).

    Потоки  могут быть:

• Регулярные;
• Нерегулярные.

    Элементами  нерегулярного потока являются как  положительные поступления, так и отрицательные выплаты, а соответствующие платежи могут производиться через различные интервалы времени.

    Финансовая  рента (аннуитет) – поток одинаковых платежей, все элементы которых положительные величины, а временные интервалы между платежами - одинаковы.

    Характеристики  ренты:

• Размер платежа (Payment – PMT);
• Период ренты;
• Срок ренты;
• Процентная ставка.

    

    По  моменту выплаты в пределах периода  между платежами ренты делятся:

1. Постнумерандо – выплаты в конце периода;
2. Пренумерандо – выплаты в начале периода;
3. В середине периода.

 

21. Расчет  наращенной суммы  постоянной годовой  ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз в год.

   Получатели  поступлений оценивают свой доход  суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.

   Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

   Наращенные  отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

   Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:

   где FVA – наращенная сумма ренты;

   R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

   i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

   n – срок ренты в годах,

   s _n;i – коэффициент наращения ренты. 

   Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

   Решение:

   Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

   Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

 
 

Расчет  современной стоимости постоянной годовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз в год. 

   Помимо  наращенной суммы обобщающей характеристикой  потока платежей является современная  величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

   В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

   В простейшем случае, для годовой обычной  ренты с выплатами в конце  каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная  величина финансовой ренты равна:

   Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a_n;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n) (Приложение 5). 

   Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.

   Решение:

   Современная величина ренты составит:

   Таким образом, все производимые в будущем  платежи оцениваются в настоящий  момент в размере 1'217,78 руб. 

22. Расчет  наращенной суммы  постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m).

   Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

   Также нередки случаи, когда рентные  платежи вносятся несколько раз  в году и начисление процентов  также происходит несколько раз  в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

   На  практике большее распространение  получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

   Поток пренумерандо имеет значение при  анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

   Рента пренумерандо отличается от обычной  ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты  пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

   Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:

   Для годовой ренты пренумерандо с  начислением процентов несколько  раз в год:

 
 

Расчет  современной стоимости постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m). 

   Рассмотрим  расчет современной величины ренты  для различных ее видов:

• годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

• срочная рента при начислении процентов один раз в год:

• срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :

 
 

23. Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты  ПОСТНУМЕРАНДО (p=m=1).

   Последовательные  платежи в виде постоянной обычной  годовой ренты определяются основными  параметрами:

   R – размер платежа;

   n – срок ренты в годах;

   i – годовая ставка процентов.

   Однако  при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик  и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий  параметр.

   При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

   а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:

 

   Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

   Решение:

   В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому  размер ежегодных взносов будет  равен:

   Таким образом, чтобы накопить на счете  необходимую сумму для покупки  автомобиля следует в конце каждого  года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб. 

   б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

 

   Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.

   Решение:

   Известна  современная величина долга, отсюда:

   Таким образом, ежегодно необходимо будет  возвращать сумму 2'504,56 руб.

   Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10'000 • (1 + 0,08)⁵ = 14'693,28 руб.

   Наращенная  сумма для потока платежей размером 2'504,56 руб. составит:

   Следовательно, величина члена финансовой ренты  определена верно. Незначительное расхождение  вызвано округлением расчетов.