Финансовая математика: предмет, принцип «временной стоимости денег», виды процентных ставок

 

    Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i)

    P, P(1 + i), P(1 + i)², P(1 + i)³, …, P(1 + i)ⁿ,

    где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

    Наращенная  стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле

                                                                          ,  

    где (1 + i)ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов. 

    Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

                                                                           ,  

где 1/(1 + i)ⁿ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

    При неоднократном начислении процентов  в течение года формула математического дисконтирования принимает вид

                                                                         ,  

где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

    Для дисконтирования при сложной процентной ставке - при начислении процентов один раз в году - используется формула:

    А при начислении процентов m раз в году формула:

.

    При учете вексель выполняет две  функции: коммерческого кредита  и средства платежа.

    Абсолютная величина дисконта определяется как разность между номиналом векселя и его современной стоимостью на момент проведения операции. При этом дисконтирование осуществляется по учетной ставке d, устанавливаемой банком:   где 

       t - число дней до погашения;

           d – учетная ставка банка;

           P - сумма, уплаченная владельцу  при учете векселя;

          N - номинал;

    Современная стоимость PV (ценные обязательства  Р) при учете векселя по формуле:

    Суть  данного метода заключается в  том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d.

      При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения называют антисипативной ставкой процентов[2]. Учетная ставка d иногда применяется и

для наращивания  по простым процентам. Необходимость  в таком наращивании

возникает при определении будущей суммы  контракта, например, общей суммы

векселя. Формула определения будущей  величины в этом случае имеет вид: 

    Пример 1:

    Простой вексель на сумму 100 000 с оплатой через 90 дней учитывается  в

банке за 60 дней до погашения. Учетная ставка банка 15 %. Определить

величину  дисконта в пользу банка и сумму, полученную владельцем векселя.

    Disc = (100000 * 60 * 0.15) / 360 = 2500;

    Соответственно, владелец векселя  получит величину PV:

    PV=100000 – 2500 = 97500;

    Предположим, что в рассматриваемом  примере владелец векселя решил

учесть  вексель немедленно после получения, тогда:

    Disc = (100000 * 90 * 0.15) / 360 = 3750;

    PV = 100000 – 3750 = 96250;

    Как следует из полученного  результата, при неизменном значении  ставки

d чем  раньше производится учет векселя,  тем больше будет величина  дисконта

в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Дисконтирование: по сложной номинальной процентной ставке m раз в году, по сложной учетной ставке m раз в году.

 
 

11. Непрерывные проценты: наращение, дисконтирование, связь  дискретных и непрерывных  процентных ставок.

    Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

    Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор  инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи  за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

    Все ситуации, которые мы до сих пор  рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так: 

k_н = (1 + j / m)^m = (1 + j / 365)³⁶⁵ 

   Но  поскольку проценты начисляются  непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e ^j: 

   где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

   Отсюда  можно записать формулу наращенной суммы для n лет: 

FV = PV • e ^{j • n} = P • e ^{δ • n} 

   Ставку  непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ). 

   Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

   а) один раз в год;

   б) ежедневно;

   в) непрерывно.

   Решение:

   Используем  формулы дискретных и непрерывных  процентов:

   начисление  один раз в год

FV = 100'000 • (1 + 0,08)³ = 125'971,2 долларов;

   ежедневное начисление процентов

FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)^{365 • 3} = 127'121,6 долларов

   непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 • e^{0,08 • 3} = 127'124,9 долларов. 

12. Расчет  срока кредита:

- при наращении  по сложной годовой  ставке %,

- при наращении  по номинальной ставке % m  раз в году,

- при наращении  по постоянной  силе роста.

   В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

   Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

   Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

   Обычно  срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

   Если  срок определяется в годах, то

n = (FV - PV) : (PV • i),

   а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T.

   Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

• срок ссуды:

n = [log (FV / PV)] / [log (1 + i)] = [log (FV / PV) ] / [log(1 + j / m)^m]; 

• ставка  сложных процентов:

   Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

   Решение:

   Такого  рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

   Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой  процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно. 
 

13. Расчет  срока кредита:

- при дисконтировании  по сложной годовой  учетной ставке,

- при дисконтировании  по номинальной  учетной ставке  m раз в году.

14. Расчет процентной  ставки:

- при наращении  по сложной годовой  ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m   раз в году,

- при наращении  по постоянной  силе роста.

15. Расчет процентной  ставки:

      - при дисконтировании  по сложной годовой  учетной ставке,

- при дисконтировании  по номинальной  учетной ставке  m раз в году.

16. Эквивалентность простых процентных и простых учетных ставок.

 

    Эквивалентные процентные ставки – ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

    Процедура нахождения эквивалентных  ставок:

1. Выбирается величина, которую легко рассчитать при использовании различных процентных ставок, обычно FV;
2. Приравниваются 2 выражения, то есть составляют уравнение эквивалентности;
3. Преобразуя, выражают одну процентную ставку через другую.