Пример:

    i_кв=3%;

    i_год-? 

    

    а) простые ставки процента, уравнение  эквивалентности:

    

    б) сложные ставки процента, уравнение  эквивалентности:

     

   Достаточно  часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

   Различные финансовые схемы можно считать  эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

   Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

   Классическим  примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов: 

i = (1 + j / m)^m - 1. 

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1]. 

   Эффективная ставка измеряет тот относительный  доход, который может быть получен  в целом за год, т.е. совершенно безразлично  – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

   Поэтому совершенно не имеет значения, какую  из приведенных ставок указывать  в финансовых условиях, поскольку  использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

   Если  две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными. 

   Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

   Решение:

   Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 2[(1 + 0,25)^1/2 - 1] = 0,23607.

   Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 4[(1 + 0,25)^1/12 - 1] = 0,22523.

   Таким образом, номинальные ставки 23,61% с  полугодовым начислением процентов  и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными. 

   При выводе равенств, связывающих эквивалентные  ставки, приравниваются друг к другу  множители наращения, что дает возможность  использовать формулы эквивалентности  простых и сложных ставок:

   простая процентная ставка: 

i = [(1 + j / m)^{m • n} - 1] / n; 

   сложная процентная ставка:

 
 

17. Эквивалентность простых и сложных % ставок.

 

    Эквивалентность простой и сложной  ставок.

    

    По  простой 

По  сложной 

    Уравнения эквивалентности FV_пр = FV_сл 
 

   В практической деятельности часто возникает  необходимость изменения условий  ранее заключенного контракта –  объединение нескольких платежей или  замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

   Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству: 

FV₀ = ΣFV_j • (1 + i • t_j), 

   где t_j – временной интервал между сроками, t_j = n₀ - n_j. 

   Пример 6. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

   Решение:

   Определим временной интервал между сроками  для первого платежа и консолидированного платежа: ^8>>>

t₁= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

   для второго платежа и консолидированного платежа:

t₂ = 22(май) - 1 = 21 день.

   Отсюда  сумма консолидированного платежа  будет равна:

FV_oб. = FV₁ • (1 + t₁ / T • i) + FV₂ • (1 + t₂ / T • i) =

= 20'000 •  (1 + 41/360 • 0,1) + 30'000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50'402,78 руб.

   Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб. 

   Конечно, существуют различные возможности  изменения условий финансового  соглашения, и в соответствии с  этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

   Если  платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид: 

FV_об. = FV₁ • (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁ 

   Пример. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

   Решение:

   Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

FV_об. = FV₁ (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁ = 45'000 (1 + 0,12)^{5 - 3} = 56'448 руб.

   Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб. 

   Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным  процентам представлена на рисунке 4.

   Как видно из рисунка 4, при краткосрочных  ссудах начисление по простым процентам  предпочтительнее, чем по сложным  процентам; при сроке в один год  разница отсутствует, но при среднесрочных  и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

   При любом i,

   если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)ⁿ ;

   если  n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)ⁿ ;

   если  n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)ⁿ .

   Таким образом, для лиц, предоставляющих  кредит:

• более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
• обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

 

18. Эквивалентность простой учетной став5ки и сложной эффективной ставки годовых процентов.
19. Эквивалентность значений эффективной и номинальной годовых ставок.
20. Потоки платежей. Финансовые ренты и их классификация.

 

   В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений  называется потоком платежей.

   Потоки  платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с  ценными бумагами, в управлении финансами  предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

   Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

   Поток платежей, все члены которого имеют  одинаковое направление (знак), а временные  интервалы между последовательными  платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

   При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

• член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
• период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
• срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
• процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

   Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков  платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

• В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
• годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
• срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
• По числу начислений процентов различают
• ренты с начислением 1 раз в год;
• ренты с начислением m раз в год;
• непрерывное начисление.
• По величине членов ренты могут быть
• постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
• переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
• По числу членов ренты они бывают
• с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
• с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
• По вероятности выплаты ренты делятся на
• верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
• условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
• По методу выплаты платежей выделяют
• обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
• ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).