Финансовая математика: предмет, принцип «временной стоимости денег», виды процентных ставок

    d = (S-P) / Sn

    Учетная ставка более жестко отражает временной  фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в  случае, когда процентная и учетная  ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.

    Современная величина и процентная ставка, по которой  проводится дисконтирование, находятся  в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

    В той же обратной зависимости находятся  современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

    Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

    Операция  учета (учет векселей) заключается в  том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа  по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу дисконт. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

    Для расчета дисконта используется простая учетная ставка:

D = S-P = S • n • d = S • t / T • d ,

где n – прод-сть срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

    Отсюда:                                       P = S - S • n • d = S • (1 - n • d),

где (1 - n • d) – дисконтный множитель.

    Очевидно, что чем выше значение учетной  ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование  по простой учетной ставке чаще всего  производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

    В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается  начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: P₂ = P₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

   где P₁ – первоначальная сумма долга;

   P₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

   n₁ – общий срок платежного обязательства;

   n₂ – срок от момента учета до погашения.

5. Расчет суммы, выплачиваемой при учете обязательств с начислением простых процентов.

 

    Когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление простых процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: P₂ = P₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

   где P₁ – первоначальная сумма долга;

   P₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

   n₁ – общий срок платежного обязательства;

   n₂ – срок от момента учета до погашения. 

   Пример:

   Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

   Решение:

   Р2 = 2(1+100/365*0,2)(1-40/360*0,15)=2,074 млн. руб

   При наращивании использовалась временная  база 365 дней, а при дисконтировании  – 360.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Расчет  удвоения суммы для  простых и сложных  процентов.

 

    В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз пр иданной процентной ставке. Ответ можно получить, приравняв множитель наращения величине N:

    а) для простых процентов (1+ni_пр.) = N, откуда n = (N-1) / i_пр.

    б) для сложных процентов (1+i_сл.)ⁿ = N, откуда n = ln N/ ln(1+i_сл.)

    Особенно  часто используется N=2, тогда эти формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

    а) для простых процентов n = 1 / i_пр,

    б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+i_сл.)

    Если  учесть , что ln2=0,7, а ln(1+i_сл.)=i, то n=0,7/i

    Важно учесть следующее:

1. Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2. При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

 

    Пример: Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов 3%. Результаты сравнить.

    Решение:

    а) при простых процентах:      n = 1/iпр = 1/0,03 = 33 1/3 года;

    б) при сложных процентах и точной формуле:

                                                 n = ln2/ln(1+i_сл.) = 0.693147/ln(1+0.03) = 0.693147/0.0295588 = 23.45 года;

    в) при сложных процентах и приближенной формуле:

                                                 n = 0.7/i = 0.7/0.03 = 23.33 года

7. Расчет начисления сложных процентов при дробном числе лет.

 

    Достаточно  часто финансовые контракты заключаются  на период, отличающийся от целого числа  лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

• общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

S = P • (1 + i)ⁿ,

n = a + b, 

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

• смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

S = P • (1 + i)^a • (1 + bi). 

    Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)^a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

•         в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S = P • (1 + i)^a  

    Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

    Решение:

   а) Общий метод:

S = P • (1 + i)ⁿ = 250 • (1 + 0,095)^2,9 = 320,87 тыс. долларов.

   б) Смешанный метод:

S = P • (1 + i)^a • (1 + bi) =

= 250 •  (1 + 0,095)² • (1 + 270/360 • 0,095) =

= 321,11 тыс.  долларов.

   Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов,

   а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.

   Как видно, смешанная схема более  выгодна кредитору. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Расчет  наращения сложных  процентов по номинальной  ставке.

 

    Период  начисления по сложным процентам  не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (j).

    Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

    Эта ставка

• во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
• во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

    Если  начисление процентов будет производиться  m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит  N = n • m

    Отсюда  формулу сложных процентов можно  записать в следующем виде: 

S = P • (1 + j / m)^N = P • (1 + j /m)^mn ,

где j – номинальная годовая ставка процентов.

    Если  срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами:

    а) по формуле сложных процентов  S = P • (1 + j / m)^N/r

где N/r - число периодов начисления (возможно, дробное)

    б) по смешанной формуле S = P • (1 + j / m)^a *(1+bj / m) 
 

    Пример: Сумма в размере 2000 дол. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату, введя ежеквартальное начисление процентов.

    Решение:

    Количество  периодов начисления:

    N = m • n = 4 • 2 = 8

    Наращенная  сумма составит:

    S = P • (1 + j / m)^mn = 2'000 • (1 + 0,1 / 4 )⁸ = 2'436,81 руб.

    Сумма начисленных процентов:

    I = S - P = 2'436,81 - 2'000 = 436,81 руб.

    Таким образом, через два года на счете  будет находиться сумма в размере 2'436,81 руб., из которой 2'000 руб. является первоначальной суммой, размещенной  на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов. 

    В финансовой практике значительная часть  расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

    Применение  схемы сложных процентов целесообразно  в тех случаях, когда:

• проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
• срок ссуды более года.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Дисконтирование: по сложной годовой  процентной ставке, по сложной годовой учетной ставке.