2. Предполагает начисление процентов  за целое число лет по формуле  сложных процентов и за дробную  часть срока по формуле простых  процентов:

       S= P(1+ i) ⁿ_a (1+ n _b i)

       3. В правилах ряда коммерческих  банков для некоторых операций  проценты начисляются только  за целое число лет или других  периодов начисления.

Дробная часть периода отбрасывается:

       S = P(1+ i)ⁿ_a .

       Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. При п > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается.

2.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки

       В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько  раз в году — по полугодиям, кварталам  и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

       Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году — m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

       S = P(1 + j/m ) ^mn,   (2.2)

       где N=nm — общее количество периодов начисления.

       Действительная, или эффективная ставка процента — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

       Обозначим эффективную ставку через i. Множители наращения, рассчитанные по эффективной и номинальной ставкам, должны быть равны друг другу:

       (1+ i) ⁿ = (1+ j/ m) ^mn.

       Отсюда

       i = (1+ j/ m)^m - 1.

       Эффективная ставка при m > 1 больше номинальной.

       Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m:

       j = m(^m√ 1+ i - 1) .

2.3. Дисконтирование по сложной ставке

       Определим первоначальную сумму по наращенной через математическое

       дисконтирование:

       P= S/(1+ i) ⁿ

и когда  проценты начисляются m раз в году:

       P= S/(1+ (j/ m)) ^mn  .

       При банковском учете применяют сложную  учетную ставку. В этих случаях  процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем по простой учетной ставке:

       P = S(1- d)ⁿ , где d — сложная годовая учетная ставка.

2.4. Номинальная и эффективная учетные ставки

       Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае

       P = S(1-( f /m)) ^mn,

где f — номинальная учетная ставка.

       Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

         (1- d) ⁿ = (1- (f ÷m)) ^mn ,

откуда

       d= 1- (1- f ÷ m )) ^m .

       Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда  m > 1, меньше номинальной.

2.5. Определение срока ссуды и размера процентной ставки

       При наращении по сложной годовой  ставке i и по номинальной ставке j

       на  основе формул (2.1) и (2.2) имеем

       n = (log(S/P))/ (log(1 + i)),                                                                                 (2.3)

       n=( log(S/P))/ (m ∙ log(1+( j/ m))).                                                                      (2.4)

       При дисконтировании по сложной годовой  учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим

       n= (log(S/P))/(log(1- d)),

       n= (log(S/P))/ (m ∙ log(1- (f/ m)).

       При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим эффективную и номинальную ставки:

       i = ⁿ √S / P - 1,                                                                                                     (2.5)

       j = m(^mn√ S / P - 1) .

       При дисконтировании по сложным учетным ставкам

       d = 1- ⁿ √P/ S                                      ,           (2.6)

       f = m(1- ^mn √P/ S ) .

2.6. Конверсия валюты и наращение процентов

       При возможности обмена рублевых средств на СКВ и обратной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и через другую валюту. Возможны четыре варианта для наращения процентов с конверсией денежных ресурсов и без нее:

• без конверсии: СКВ→ СКВ;
• с конверсией: СКВ → Руб → Руб →  СКВ;
• без конверсии: Руб →  Руб;
• с конверсией: Руб → СКВ →  СКВ → Руб.

       Обозначим:

       P_v — сумма депозита в СКВ,

       P_r — сумма депозита в рублях,

       S_v — наращенная сумма в СКВ,

       S_r — наращенная сумма в рублях,

       K₀ — курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях),

       K₁ — курс обмена в конце операции,

       n — срок депозита,

       i — ставка наращения для рублевых сумм,

       j — ставка наращения для конкретного вида СКВ.

       Вариант СКВ → Руб → Руб → СКВ.

       Операция  предполагает обмен валюты на рубли, наращение процентов на эту сумму и конвертирование в исходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валюте определяется как

       S_v =(P_vK₀(1+ ni)) 1/ K₁ .

       Множитель наращения m с учетом двойного конвертирования здесь имеет вид

       m = (K ₀(1+ ni)) 1/K₁= (K₀/K₁ )(1+ni) =(1+ ni)/(K₁/ K₀)

       Для определения доходности операции в целом примем простую годовую ставку процента i_э. Эта ставка характеризует рост суммы Р_v до величины S_v:

       i_э= (S_v-P_v)/P_vn.

       Или:

i_э=[ (К₀/ К₁)(1 +ni)-1]/n= (m-1)/n .

       Величину, характеризующую отношение последнего и первого курсов ва-

       люты, обозначим:

       k = К ₀/ К₁.

       С увеличением k эффективность операции падает. При k = 1 параметр i_э =i, при k > 1 параметр i_э < i, наконец, при самой благоприятной для владельца денег ситуации k < 1 имеем i_э > i.

       Вариант Руб - СКВ - СКВ - Руб.

       Наращенная сумма будет иметь вид:

       S_r= (P_r /K₀) (1-nj) K₁=P _r(1 +nj) (K ₁/K₀).

       Доходность  операции определяется как

       i_э=(S_v-P_v)/P_vn.

       i_э =[ К₁/К₀(1+nj) -1]/n=( k(1+ nj)-1)/n.

       Зависимость показателя эффективности от k, как  видим, линейная. При k = 1 i_э = j, при k > 1 параметр i_э > j, наконец, при k < 1 параметр i_э < j.

Раздел 2.Расчет плана погашения ипотечного кредита, выданного Балтийским Банком (вариант10)

       Целью кредитования является покупка квартиры на рынке вторичного жилья. Кредит выдан  в российских рублях. Требования к заемщику:

• возраст 21-65 лет
• гражданство РФ – требуется
• общий трудовой стаж от 1 года
• трудовой стаж на последнем месте от 6 месяцев
• поручитель не требуется.
• возможно досрочное погашение – минимальная сумма 15000руб.

     Кредит может предоставляться с разными условиями. К ним относятся первоначальный взнос и срок кредитования. По условию погашение долга должно осуществляться аннуитетными платежами, то есть равными, срочными уплатами. Рассмотрим три различных варианта первоначального взноса при разных сроках кредитования и процентных ставок соответственно.

     В связи с этим введем соответствующие  обозначения:

     t – год;

     D – долг (остаток долга);

     I – процентный платеж;

     R – годовой расход по погашению  основного долга;

     Y – годовая срочная уплата.

     Рассмотрим  основные формулы расчётов:

     

 

     Все расчеты будут вестись в российских рублях. 

     Условие 1

Сумма кредита –250000 руб.

Срок  кредита – 7 лет;

Процентная  ставка– 9%;

Первоначальный  платеж – 65% (162500 руб.).

     

D₁=250000 - 162500=87500

I₁=87500*0,09=7875

R₁=17385,42–7875=9510,42

D₂=87500-9510,42=77989,58

I₂=778989,58*0,09=7019,06

R₂=17385,42-7019,58=10366,36

D₃=77989,58-10366,36=67623,22

I₃=67623,22*0,09=6086,09